Szeregi liczbowe

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n=\frac{a}{(\sqrt{b})^n} , dla n=1,2,3,.... Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \frac{c}{\sqrt{d}+e}, gdzie c,d,e\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby c,d i e.

 Oblicz sumę szeregu a-b+c-....

 « Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu określonego wzorem a_n=a\cdot b^{-n}.

 « Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony w następujący sposób: \begin{cases} a_1=a \\ a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n \text{, dla } n\in\mathbb{N_+} \end{cases} .

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

 « Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy a_1, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa S.

Oblicz iloraz tego ciągu.

 « Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy a_2, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa S.

Wyznacz najmniejszy możliwy iloraz tego ciągu.

 » Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi \frac{a}{b}, zaś suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych tego ciągu wynosi \frac{c}{d}. Oblicz a_4.

Podaj kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

 » Iloraz ciągu geometrycznego (b_n) wynosi \frac{1}{\sqrt{n}}, a suma jego wszystkich wyrazów jest równa a+b\sqrt{c}. Oblicz b_5.

Podaj kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

 Ciąg (c_n) określony jest rekurencyjnie: \begin{cases} c_1=\frac{1}{2} \\ c_{n}=\frac{a\cdot c_{n-1}}{1+2+3+...+b}\text{, dla }n > 1 \end{cases} oraz S_n=c_1+c_2+c_3+...+c_n. Oblicz \lim_{n\to\infty}S_n.

Zakoduj kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

 Wynacz te wartości x\in\mathbb{R}, dla których ciąg liczbowy \left(1, \frac{ax+1}{2x+3},\left(\frac{ax+1}{2x+3}\right)^2,...\right) jest zbieżny.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Podaj prawy koniec tego przedziału.

 Rozwiąż równanie 1+\frac{1}{1-ax}+\frac{1}{(1-ax)^2}+...=1-2ax .

 « Rozwiąż nierówność 1-\frac{2x-a}{2}+\frac{(2x-a)^2}{4}-...\geqslant 2 .

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału liczbowego. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Podaj prawy koniec tego przedziału.

 Rozwiąż nierówność \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^3+ \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^4+... \lessdot 1+\sqrt{\frac{x}{a}} .

Podaj najmniejszą liczbę spełniającą tę nierówność.

 Podaj najmniejszą liczbę dodatnią, która nie spełnia tej nierówności.

Wyznacz rozwiązania równania \tan 2x+\tan^2 2x+\tan^3 2x+...=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3}+1), gdzie x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right)- \left\{-\frac{\pi}{4}\right\}.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

Podaj największe rozwiązanie tego równania.

 » Dany jest ciąg c_n=\left(-\frac{1}{47-2m}\right)^n, w którym wszystkie wyrazy są dodatnie, a m jest parametrem. Wyznacz te wartości parametru m, dla których szereg c_1+c_2+c_3+... jest zbieżny.

Podaj najmniejsze całkowite m spełniające warunki zadania.

 Ciąg liczbowy \left(a_n\right) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym malejącym. Suma trzech jego pierwszych wyrazów jest równa s, a iloczyn tych wyrazów jest równy 1000.

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Wyznacz trzeci wyraz tego ciągu.

 Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

 « Funkcja f określona jest wzorem: f(x)=\frac{b(x+a)}{x-2+a}+\frac{b(x+a)^2}{(x-2+a)^2}+\frac{b(x+a)^3}{(x-2+a)^3}+... .

Przedział liczbowy (-\infty, p) jest dziedziną tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy (p, +\infty) jest zbiorem wartości tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy \langle p, q) jest rozwiązaniem nierówności f(x)\leqslant 0. Podaj p.

 Podaj q.

 « Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych zbieżnego ciągu geometrycznego jest równa S_{np}, zaś suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa S_p.

Podaj pierwszy wyraz tego ciągu.

 Podaj iloraz tego ciągu.