Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Zadania dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- równania trygonometryczne
- rozwiązywanie równań
| Zadanie 1. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20763 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
4\sin ax\cos 2x=2\sin bx-1
w przedziale \left(0,2\pi\right).
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Dane
a=7
b=9
b=9
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 2. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20285 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
« Rozwiąż równanie
\sin 12x-\cos 2x+\sin 8x=0
.
Podaj najmniejsze rozwiązanie dodatnie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania z przedziału
(0,\pi).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20286 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
» Liczba x należy do przedziału
\left(0,\frac{\pi}{4}\right) i ciąg
(\cos 8x, \cos^28x,\cos 2\pi) jest ciągiem
arytmetycznym.
Podaj najmniejsze możliwe x.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 3.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20287 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje: f(x)=3\cos^2 4x-\frac{3}{2}
oraz g(x)=\frac{3}{2}\sin 4x. Wyznacz zbiór tych
argumentów z przedziału \left(0,\frac{\pi}{2}\right),
dla których f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 4.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20288 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Dane są funkcje:
f(x)=\cos x\left(2\cos^2x-\frac{1}{2}\right) oraz
g(x)=\frac{1}{2}\sin^2x-\frac{3}{2}\cos^2x.
Wyznacz zbiór tych wartości argumentów z przedziału
(0,\pi), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20289 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
« Rozwiąż równanie \sqrt{3}\sin x+3\sin \frac{x}{2}=0,
gdzie x\in(0,2\pi).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20290 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\sin^2 x-3\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}=0, gdzie
x\in(0,4\pi).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20291 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
» Rozwiąż równanie
\sin\frac{5}{4}x-\sin\frac{x}{4}=0, gdzie
x\in(0,4\pi).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20292 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje f(x)=2\cos^2\frac{x}{2}-1 oraz
g(x)=2\cos^2 \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}.
Wyznacz te wartości x\in (0,4\pi), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20283 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
» Wyznacz te wartości parametru m, dla których
równanie |4\sin x-3|=m^2+18m+84 posiada rozwiązania.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z tych końców przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj największy z tych końców przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20807 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie \sin x+\cos x=1 w przedziale
\left(-2\pi, 4\pi\right).
Podaj najmniejszą liczbę z dziedziny tego równania, która spełnia to równanie.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Podaj największą liczbę z dziedziny tego równania, która spełnia to
równanie.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 11.3 (1 pkt)
Ile rozwiązań ma to równanie?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20494 |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Ile rozwiązań ma równanie
\sin x\cdot |\cos x|=\frac{1}{4} w przedziale
\langle 0, 154\pi\rangle?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz odpowiedź tekstową)
| Zadanie 13. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20282 |
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
Ile rozwiąząń ma równanie
\frac{2\sin{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{140-x^2-4x}}=0?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20756 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\cos x+\sin 2x=1+2\sin x
w przedziale \left\langle 0,3\pi\right\rangle.
Podaj najmniejsze dodatnie rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj to rozwiązanie dodatnie, które nie jest ani najmniejsze, ani
też największe.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.3 (1 pkt)
Podaj największe dodatnie rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30200 |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Dane są funkcje f(x)=\sin x-\sqrt{2} oraz
g(x)=\sqrt{3}\cos x. Wyznacz te wartości
x\in(0,2\pi), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania (w radianach).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 15.2 (2 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30351 |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
« Rozwiąż równanie
\cos(x)\left[\sin\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(6x+\frac{\pi}{4}\right)\right]=\sin 6x
.
Podaj największe ujemne rozwiązanie tego równania (w radianach).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Podaj najmniejsze dodatnie rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.3 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału
\langle 0,\pi\rangle.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30353 |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
« Rozwiąż równanie
\frac{2}{3}\cos(x)\left[\sin\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(6x+\frac{\pi}{6}\right)\right]=\sin 6x
.
Podaj największe ujemne rozwiązanie tego równania (w radianach).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 17.2 (1 pkt)
Podaj najmniejsze dodatnie rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 17.3 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału
\langle 0,\pi\rangle.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30195 |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
» Dla jakich wartości parametru \alpha suma
kwadratów różnych pierwiastków równania
x^2-10x\sin\alpha-6\cos^2\alpha=0 jest równa
56?
Podaj najmniejsze dodatnie \alpha spełniające warunki zadania (w radianach).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.2 (2 pkt)
Podaj największe rozwiązanie z przedziału (0,\pi).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30196 |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
Dla jakich wartości parametru
\alpha\in\langle 0,2\pi\rangle pierwiastki równania
x^2-6x\cos\alpha-10\sin^2\alpha=0 spełniają
warunek x_1^2+x_2^2=28?
Podaj najmniejsze \alpha spełniające warunki zadania. Wynik zapisz w radianach.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.2 (2 pkt)
Podaj największe \alpha spełniające
warunki zadania. Wynik zapisz w radianach.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.3 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego zadania (w radianach).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30203 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
Dane jest równanie
\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\cos x+\sin x\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=4\sin(10m)-3
z parametrem m. Wyznacz te wartości parametru
m, dla których równanie to posiada rozwiązania.
Podaj najmniejsze dodatnie m spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 20.2 (2 pkt)
Podaj największe możliwe m z przedziału
\left(0,\frac{1}{5}\pi\right) spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 21. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30205 |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
» W równaniu \sin x(\sin^2 x-m^2)=0 liczba
m jest parametrem, zaś
x\in\langle -\pi,\pi\rangle.
Dla m=\frac{\sqrt{2}}{2} wyznacz rozwiązania tego
równania.
Ile rozwiązań ma to równanie?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 21.2 (1 pkt)
Podaj sumę rozwiązań dodatnich tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 21.3 (2 pkt)
Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie
to ma dokładnie trzy rozwiązania.
Podaj sumę kwadratów wszystkich liczb całkowitych, które nie spełniają warunku zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30198 |
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
» Rozwiąż równanie 2\cos^2x+11\sin x-7=0 w
przedziale \langle 0,2\pi\rangle.
Podaj najmniejsze z rozwiązań.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.2 (2 pkt)
Podaj największe z rozwiązań.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30199 |
Podpunkt 23.1 (2 pkt)
Wyznacz największą liczbę ujemną spełniającą równanie
\cos x-\sin x\cdot \tan x=1.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (2 pkt)
Podaj najmniejsze z rozwiązań dodatnich.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)