Zadania optymalizacyjne
Zadania dla klasy trzeciej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych za pomocą rachunku pochodnych
| Zadanie 1. (6 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30812 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
« Na okręgu opisano trapez równoramienny o podstawach
a i b
(a > b) i wysokości h,
w którym a+h=k. Wyznacz przedział, do którego
może należeć dłuższa podstawa a.
Podaj lewy koniec tego przedziału.
Dane
k=12
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Podaj prawy koniec tego przedziału.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.3 (1 pkt)
Obwód tego trapezu w zależności od długości dłuższej podstawy
a wyraża się wzorem
O=\frac{W(a)}{a}, gdzie
W(a) jest wielomianem.
Podaj największy współczynnik tego wielomianu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.4 (2 pkt)
Podaj długość dłuższej podstawy a tego z
trapezów, który ma najmniejszy obwód.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.5 (1 pkt)
Oblicz tangens kąta ostrego tego z trapezów, który ma najmniejszy obwód.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 2. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30813 |
Podpunkt 2.1 (2 pkt)
Liczby x i y spełniają
warunek y=x+1, a wyrażenie
\frac{y^2-2x+1}{x^2+2y} jest największe możliwe.
Jaką wartość ma to wyrażenie?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 2.2 (2 pkt)
Dla jakiej wartości x wartość wyrażenia jest
maksymalna?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30814 |
Podpunkt 3.1 (4 pkt)
Jeden z boków kwadratu o wierzchołkach A i
B zawiera się w prostej
y=\frac{1}{2}x, a wierzchołek
C należy do wykresu funkcji
y=-\frac{8}{x}.
Wiedząc, że kwadrat ten ma najmniejsze możliwe pole powierzchni, oblicz długość jego przekątnej.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30815 |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Wyznacz tę wartośc parametru p, dla której
suma sześcianów różnych pierwiastków równania
x^2+px+p^2-1=0 osiąga największą wartość.
Podaj p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 4.2 (2 pkt)
Ile wynosi ta największa suma sześcianów?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30816 |
Podpunkt 5.1 (4 pkt)
Przyprostokątna trójkąta ma długość 2. Stosunek pola
powierzchni koła opisanego na tym trójkącie do pola powierzchni tego trójkąta
jest najmniejszy możliwy.
Oblicz obwód tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30817 |
Podpunkt 6.1 (4 pkt)
W półkole wpisano prostokąt o największym możliwym polu powierzchni.
Oblicz cosinus kąta rozwartego jaki tworzą przekątne tego prostokąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30818 |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
» Punkt K=(1,9) należy do prostej, która jest
wykresem funkcji malejącej. Prosta ta odcina na osiach układu dwa odcinki,
których suma długości jest najmniejsza możliwa. Wyznacz równanie tej prostej
w postaci y=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30819 |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
» Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), w którym
a_8=3 i a_{20}=27.
Wyznacz największe możliwe n, dla którego
S_n ma wartość najmniejszą.
Podaj n.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 8.2 (2 pkt)
Ile istnieje takich wartości n?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30820 |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Trapez równoramienny ma przekątną długości 5\sqrt{6}
i największe możliwe pole powierzchni.
Ile wynosi suma jego podstaw?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (2 pkt)
Ile wynosi to największe możliwe pole?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30821 |
Podpunkt 10.1 (4 pkt)
« Koszt produkcji n niepodzielnych sztuk
towaru wynosi 2n^2+33n+120. Ile należy wyprodukować
sztuk tego towaru, aby koszt produkcji jednej sztuki był możliwie jak
najmniejszy?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (6 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30822 |
Podpunkt 11.1 (4 pkt)
» Największy z okręgów na rysunku ma promień długości
36, a punkty O,
O_1 i O_2 nie
leżą na jednej prostej:
Wyraź pole powierzchni zielonego trójkąta jako funkcję promienia r (wykorzystaj wzór P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}).
Wyznacz długość promienia r, przy której pole zielonego trójkąta jest największe.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Ile jest równe to największe pole?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)