Zadania dla klasy trzeciej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
zadania zamknięte z geometrii analitycznej
Zadanie 1.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10196
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Punkty o współrzędnych A=(7,-7),
B=(12,-7),
C=(15,-3) i D=(10,-3) są
wierzchołkami rombu.
Okrąg wpisany w ten romb ma równanie:
Odpowiedzi:
A.(x-11)^2+(y+5)^2=4
B.(x-3)^2+(y+9)^2=4
C.(x-11)^2+(y+5)^2=2
D.(x-3)^2+(y+9)^2=2
Zadanie 2.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10197
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Obrazem odcinka AB w jednokładności o skali
k=-\frac{2}{3} jest odcinek o końcach
A'=(2,0) i B'=(-14,-12).
Oblicz |AB|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 3.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10198
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Obrazem punktu A=(-1,1) w jednokładności o środku
S=(1,0) jest punkt
B=(-1,1).
Oblicz skalę tej jednokładności.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 4.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10199
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
W jednokładności o środku S i skali
k=-3 obrazem wektora
\overrightarrow{AB} jest wektor
\overrightarrow{A'B'}.
Wówczas:
Odpowiedzi:
A.|AA'|=3|SA|
B.\overrightarrow{BB'}=4\overrightarrow{BS}
C.\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{A'B'}
D. wektory \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'} są przeciwne
Zadanie 5.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10224
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Oblicz odległość punktu o współrzędnych (4,-3) od prostej
o równaniu 2x-y-7=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 6.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10225
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Oblicz odległość punktu o współrzędnych (-2,-3) od prostej
o równaniu 2x-y-4=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 7.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10226
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Równanie x^2+12x=-36-y^2 opisuje na płaszczyźnie
Odpowiedzi:
A. dwie proste
B. okrąg
C. prostą
D. punkt
E. parabolę
F. zbiór pusty
Zadanie 8.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10227
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Równanie y^2+6x^2=-5 opisuje na płaszczyźnie:
Odpowiedzi:
A. okrąg
B. dwie proste przecinające się pod kątem innym niż prosty
C. zbiór pusty
D. parabolę
E. prostą
F. dwie proste prostopadłe
Zadanie 9.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10228
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Oblicz odległość prostych równoległych y=-\frac{3}{4}x-\frac{123}{4} i
-3x-4y+97=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 10.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10232
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
« Dane są punkty P=(x+4,-6) i
Q=(-3,y-6).
Punkt R=(0,-10) dzieli odcinek
PQ w taki sposób, że
\frac{|PR|}{|RQ|}=\frac{1}{3}.
Wyznacz współrzedne x i y.
Odpowiedzi:
x
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
y
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 11.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10233
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Dany jest wektor \vec{u}=[-3,5] oraz punkt
B=(2,-3). Punkt A spełnia
równanie \overrightarrow{AB}=-3\vec{u}.
Zatem:
Odpowiedzi:
A.A=(18,14)
B.A=(-7,12)
C.A=(11,-18)
D.A=(15,-25)
Zadanie 12.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10229
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Bok trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x+3y+18=0. W
trójkąt ten wpisano okrąg o środku w punkcie o współrzednych (5,-8).
Prosta o równaniu 3x-2y+m=0 zawiera inny bok tego trójkąta.
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 13.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10230
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Trójkąt równoboczny o wysokości h jest opisany na
okręgu o równaniu x^2+12x+36+y^2+4y+\frac{15}{4}=0.
Podaj liczbę h.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 14.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10231
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Wierzchołkiem trójkąta równobocznego jest punkt o współrzędnych
A=(-5,1). Punkt P=(-1,1)
jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. W trójkąt ten wpisano okrąg o
równaniu (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie.
r > 0.
Podaj liczby a, b i
r.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
r
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 15.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10200
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Prosta o równaniu y=\frac{3}{4}x+b-9 jest styczną do okręgu
opisanego wzorem (x+3)^2+(y+4)^2=25.
Wyznacz możliwe wartości parametru b.
Podaj najmniejszą i największą możliwą wartość parametru b.
Odpowiedzi:
b_{min}
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b_{max}
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 16.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10211
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Oblicz pole kwadratu wpisanego w okrąg o równaniu
x^2+y^2+10x+4y=-25.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 17.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10217
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Ustal, ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu
(x-6)^2+(y+2)^2=3
z prostą określoną wzorem y=-6+2\cos3\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 18.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10218
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Punkt S=(4,4) jest środkiem okręgu, a do tego okręgu
należy punkt o współrzędnych (1,0). Okrąg ten opisany jest
równaniem (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie
r > 0.
Podaj liczby a, b i
r.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
r
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 19.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10219
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Punkt S=(4,-2) jest środkiem okręgu, a do tego okręgu
należą punkty (1,1) i
(1,-5).
Okrąg ten ma równanie:
Odpowiedzi:
A.(x-4)^2+(y+2)^2=18
B.(x+2)^2+(y+4)^2=18
C.(x-4)^2+(y+4)^2=18
D.(x+2)^2+(y+2)^2=18
Zadanie 20.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10220
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Do okręgu o równaniu (x-8)^2+(y+9)^2=5 styczna jest prosta
określona równaniem 2x+y+m-6=0.
Wyznacz najmniejszą i największą możliwą wartość parametru m.
Odpowiedzi:
m_{min}
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
m_{max}
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 21.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10221
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
« Okręgi o równaniach x^2-12x+y^2-8y+96=0 oraz
(x-4)^2+(y+3)^2=4m^2
(m > 0) są styczne zewnętrznie. Wyznacz liczbę m
i zapisz wynik w najprostszej postaci \frac{a+b\sqrt{c}}{d}, gdzie
a,b,c,d\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a i c.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 22.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10222
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
« Ustal, ile jest okręgów o promieniu 1,
które są styczne do prostej o równaniu y=-7
i okręgu o równaniu x^2-8x+y^2+6y+15=0?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 23.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10223
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Oblicz długość promienia okręgu o równaniu
x^2+y^2-4y-5=0. Wynik zapisz
w najprostszej postaci a\sqrt{b}, gdzie
a,b\in\mathbb{N_{+}}.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 24.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10201
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
» Do okręgu o równaniu (x+2)^2+(y+6)^2=\frac{m+1}{2}
należy punkt o współrzędnych (6,-3).
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 25.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10202
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Prosta określona wzorem y=m jest styczną do
okręgu o równaniu (x+5)^2+(y+2)^2=4
Podaj najmniejszą i największą możliwą wartość parametru m.
Odpowiedzi:
m_{min}
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
m_{max}
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 26.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10203
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
« W jednokładności o środku P=(7,-6)
i skali k=-2 obrazem okręgu o równaniu
x^2-8x+y^2+10y+25=0 jest okrąg:
określony wzorem:
Odpowiedzi:
A.(x-9)^2+(y+1)^2=61
B.(x-9)^2+(y+2)^2=60
C.(x+9)^2+(y-2)^2=64
D.(x-9)^2+(y+2)^2=64
Zadanie 27.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10204
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Punkt S=(-1,1) jest środkiem okręgu, do którego
należy punkt P=(7,7). Okrąg ten ma równanie
x^2+y^2+ax+by+c=0.
Podaj wartości parametrów a, b i
c.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 28.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10205
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
« Z koła opisanego nierównością
x^2-12x+y^2+6y+41\leqslant 0
wycięto kąt środkowy tego koła o mierze 45^{\circ}.
Oblicz pole powierzchni tego wycinka koła i zapisz wynik w postaci
p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 29.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10215
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Okrąg (x+1)^2+y^2=r^2
(r > 0) przecina prostą
x=-3 w dwóch punktach. Zatem:
Odpowiedzi:
A.1 \lessdot r \lessdot 2
B.r=1
C.r > 2
D.0 \lessdot r \lessdot 1
E.r=2
F.r \lessdot 2
Zadanie 30.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10207
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Dana jest prosta o równaniu x-y-17=0 oraz okrąg określony
równaniem (x-7)^2+y^2+16y+62=0. Wówczas:
Odpowiedzi:
A. środek okręgu należy do prostej
B. prosta i okrąg są rozłączne
C. prosta przecina okrąg w dwóch punktach
D. prosta jest styczną do okręgu
Zadanie 31.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10208
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Dana jest prosta 3x-4y-18=0. Który z okręgów jest
styczny do tej prostej:
Odpowiedzi:
A.(x-2)^2+(y+7)^2=9
B.(x-3)^2+(y+6)^2=9
C.(x-2)^2+(y+6)^2=3
D.(x-2)^2+(y+7)^2=3
Zadanie 32.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10209
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Okrąg o równaniu (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie
r > 0, jest styczny do osi układu w punktach
o współrzędnych (-7,0) i (0,-7).
Podaj wartości parametrów a, b i
r.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
r
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 33.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10210
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
Punkty (22,17), (20,15) i
(20,17) należą do okręgu. Okrąg ten ma równanie:
Odpowiedzi:
A.x^2-40x+y^2-34y+645=0
B.x^2-42x+y^2-34y+729=0
C.x^2-42x+y^2-32y+695=0
D.x^2-40x+y^2-32y+655=0
Zadanie 34.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10212
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Oblicz długość promienia okręgu określonego równaniem
(x+y+1)^2+2(x-4)(-4-y)-3=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 35.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10213
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
« Koło opisanego nierównością
x^2+10x+y^2+4y+25\leqslant 0
ma pole powierzchni równe p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 36.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10214
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
Okręgi x^2+12x+y^2+18y+113=0 i
(x+3)^2+(y+11)^2=1:
Odpowiedzi:
A. są styczne zewnętrznie
B. są styczne wewnętrznie
C. są rozłączne
D. mają dokładnie dwa punkty wspólne
Zadanie 37.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10390
Podpunkt 37.1 (1 pkt)
Okrąg (x+1)^2+y^2=r^2
(r > 0) przecina prostą
x=-3 w dwóch punktach. Zatem: