Geometria analityczna - zadania zamknięte
Zadania dla klasy trzeciej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- zadania zamknięte z geometrii analitycznej
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10196 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Punkty o współrzędnych A=(-4,0),
B=(1,0),
C=(4,4) i D=(-1,4) są
wierzchołkami rombu.
Okrąg wpisany w ten romb ma równanie:
Odpowiedzi:
| A. (x)^2+(y-2)^2=2 | B. (x)^2+(y-2)^2=4 |
| C. (x+8)^2+(y+2)^2=4 | D. (x+8)^2+(y+2)^2=2 |
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10197 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Obrazem odcinka AB w jednokładności o skali
k=-\frac{4}{5} jest odcinek o końcach
A'=(3,8) i B'=(-13,-4).
Oblicz |AB|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10198 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Obrazem punktu A=(-6,-6) w jednokładności o środku
S=(6,4) jest punkt
B=(-6,-6).
Oblicz skalę tej jednokładności.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10199 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
W jednokładności o środku S i skali
k=-3 obrazem wektora
\overrightarrow{AB} jest wektor
\overrightarrow{A'B'}.
Wówczas:
Odpowiedzi:
| A. \overrightarrow{BB'}=4\overrightarrow{BS} | B. |AA'|=3|SA| |
| C. wektory \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'} są przeciwne | D. \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{A'B'} |
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10224 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Oblicz odległość punktu o współrzędnych (-4,3) od prostej
o równaniu 2x-y+15=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10225 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Oblicz odległość punktu o współrzędnych (-10,3) od prostej
o równaniu 2x-y+18=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10226 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Równanie x^2+12x=y^2-36 opisuje na płaszczyźnie
Odpowiedzi:
| A. parabolę | B. prostą |
| C. punkt | D. zbiór pusty |
| E. okrąg | F. dwie proste |
| Zadanie 8. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10227 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Równanie y^2-6x^2=0 opisuje na płaszczyźnie:
Odpowiedzi:
| A. dwie proste przecinające się pod kątem innym niż prosty | B. okrąg |
| C. prostą | D. parabolę |
| E. zbiór pusty | F. dwie proste prostopadłe |
| Zadanie 9. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10228 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Oblicz odległość prostych równoległych y=-\frac{3}{4}x-\frac{123}{4} i
-3x-4y+97=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10232 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
« Dane są punkty P=(x-7,1) i
Q=(-14,y+1).
Punkt R=(-11,-3) dzieli odcinek
PQ w taki sposób, że
\frac{|PR|}{|RQ|}=\frac{1}{3}.
Wyznacz współrzedne x i y.
Odpowiedzi:
| x | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| y | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 11. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10233 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Dany jest wektor \vec{u}=[-3,5] oraz punkt
B=(2,-3). Punkt A spełnia
równanie \overrightarrow{AB}=-3\vec{u}.
Zatem:
Odpowiedzi:
| A. A=(18,14) | B. A=(15,-25) |
| C. A=(11,-18) | D. A=(-7,12) |
| Zadanie 12. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10229 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Bok trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x+3y+16=0. W
trójkąt ten wpisano okrąg o środku w punkcie o współrzednych (-3,-2).
Prosta o równaniu 3x-2y+m=0 zawiera inny bok tego trójkąta.
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10230 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Trójkąt równoboczny o wysokości h jest opisany na
okręgu o równaniu x^2+14x+49+y^2-2y-\frac{45}{4}=0.
Podaj liczbę h.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10231 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Wierzchołkiem trójkąta równobocznego jest punkt o współrzędnych
A=(-5,1). Punkt P=(-1,1)
jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. W trójkąt ten wpisano okrąg o
równaniu (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie.
r > 0.
Podaj liczby a, b i r.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| r | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 15. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10200 |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Prosta o równaniu y=\frac{3}{4}x+b+\frac{25}{4} jest styczną do okręgu
opisanego wzorem (x+14)^2+(y-3)^2=25.
Wyznacz możliwe wartości parametru b.
Podaj najmniejszą i największą możliwą wartość parametru b.
Odpowiedzi:
| b_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 16. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10211 |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Oblicz pole kwadratu wpisanego w okrąg o równaniu
x^2+y^2+10x-2y=38.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10217 |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Ustal, ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu
(x+5)^2+(y-5)^2=3
z prostą określoną wzorem y=1+2\cos3\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10218 |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Punkt S=(-3,5) jest środkiem okręgu, a do tego okręgu
należy punkt o współrzędnych (-6,1). Okrąg ten opisany jest
równaniem (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie
r > 0.
Podaj liczby a, b i r.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| r | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 19. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10219 |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Punkt S=(-7,5) jest środkiem okręgu, a do tego okręgu
należą punkty (-10,8) i
(-10,2).
Okrąg ten ma równanie:
Odpowiedzi:
| A. (x+13)^2+(y-3)^2=18 | B. (x+13)^2+(y-5)^2=18 |
| C. (x+7)^2+(y-5)^2=18 | D. (x+7)^2+(y-3)^2=18 |
| Zadanie 20. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10220 |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Do okręgu o równaniu (x+3)^2+(y+2)^2=5 styczna jest prosta
określona równaniem 2x+y+m+9=0.
Wyznacz najmniejszą i największą możliwą wartość parametru m.
Odpowiedzi:
| m_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| m_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 21. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10221 |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
« Okręgi o równaniach x^2+10x+y^2+6y+22=0 oraz
(x+7)^2+(y-4)^2=4m^2
(m > 0) są styczne zewnętrznie. Wyznacz liczbę m
i zapisz wynik w najprostszej postaci \frac{a+b\sqrt{c}}{d}, gdzie
a,b,c,d\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a i c.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| c | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 22. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10222 |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
« Ustal, ile jest okręgów o promieniu 1,
które są styczne do prostej o równaniu y=0
i okręgu o równaniu x^2+14x+y^2-8y+55=0?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10223 |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Oblicz długość promienia okręgu o równaniu
x^2+y^2+14y+40=0. Wynik zapisz
w najprostszej postaci a\sqrt{b}, gdzie
a,b\in\mathbb{N_{+}}.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 24. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10201 |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
» Do okręgu o równaniu (x+5)^2+(y-1)^2=\frac{m+1}{2}
należy punkt o współrzędnych (1,2).
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10202 |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Prosta określona wzorem y=m jest styczną do
okręgu o równaniu (x+5)^2+(y-1)^2=81
Podaj najmniejszą i największą możliwą wartość parametru m.
Odpowiedzi:
| m_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| m_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 26. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10203 |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
« W jednokładności o środku P=(-4,1)
i skali k=-2 obrazem okręgu o równaniu
x^2+14x+y^2-4y+37=0 jest okrąg:
określony wzorem:
Odpowiedzi:
| A. (x+9)^2+(y-2)^2=64 | B. (x-9)^2+(y+2)^2=60 |
| C. (x-9)^2+(y+2)^2=64 | D. (x-9)^2+(y+1)^2=61 |
| Zadanie 27. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10204 |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Punkt S=(1,1) jest środkiem okręgu, do którego
należy punkt P=(-7,1). Okrąg ten ma równanie
x^2+y^2+ax+by+c=0.
Podaj wartości parametrów a, b i c.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| c | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 28. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10205 |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
« Z koła opisanego nierównością
x^2+10x+y^2-2y+10\leqslant 0
wycięto kąt środkowy tego koła o mierze 90^{\circ}.
Oblicz pole powierzchni tego wycinka koła i zapisz wynik w postaci
p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10215 |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Okrąg (x+1)^2+y^2=r^2
(r > 0) przecina prostą
x=-3 w dwóch punktach. Zatem:
Odpowiedzi:
| A. r=2 | B. r > 2 |
| C. r=1 | D. 1 \lessdot r \lessdot 2 |
| E. r \lessdot 2 | F. 0 \lessdot r \lessdot 1 |
| Zadanie 30. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10207 |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Dana jest prosta o równaniu x-y+1=0 oraz okrąg określony
równaniem (x+4)^2+y^2+2y-1=0. Wówczas:
Odpowiedzi:
| A. prosta przecina okrąg w dwóch punktach | B. prosta i okrąg są rozłączne |
| C. prosta jest styczną do okręgu | D. środek okręgu należy do prostej |
| Zadanie 31. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10208 |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Dana jest prosta 3x-4y+15=0. Który z okręgów jest
styczny do tej prostej:
Odpowiedzi:
| A. (x-4)^2+(y-3)^2=9 | B. (x-3)^2+(y-2)^2=9 |
| C. (x-3)^2+(y-3)^2=3 | D. (x-3)^2+(y-2)^2=3 |
| Zadanie 32. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10209 |
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Okrąg o równaniu (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie
r > 0, jest styczny do osi układu w punktach
o współrzędnych (7,0) i (0,-7).
Podaj wartości parametrów a, b i r.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| r | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 33. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10210 |
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
Punkty (22,17), (20,15) i
(20,17) należą do okręgu. Okrąg ten ma równanie:
Odpowiedzi:
| A. x^2-42x+y^2-34y+729=0 | B. x^2-42x+y^2-32y+695=0 |
| C. x^2-40x+y^2-32y+655=0 | D. x^2-40x+y^2-34y+645=0 |
| Zadanie 34. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10212 |
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Oblicz długość promienia okręgu określonego równaniem
(x+y+3)^2+2(x+4)(2-y)-3=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 35. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10213 |
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
« Koło opisanego nierównością
x^2+10x+y^2-2y+10\leqslant 0
ma pole powierzchni równe p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 36. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10214 |
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
Okręgi x^2-8x+y^2-8y+28=0 i
(x-7)^2+(y-2)^2=1:
Odpowiedzi:
| A. mają dokładnie dwa punkty wspólne | B. są styczne wewnętrznie |
| C. są rozłączne | D. są styczne zewnętrznie |
| Zadanie 37. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10390 |
Podpunkt 37.1 (1 pkt)
Okrąg (x+1)^2+y^2=r^2
(r > 0) przecina prostą
x=-3 w dwóch punktach. Zatem:
Odpowiedzi:
| A. 1 \lessdot r < 2 | B. r > 2 |
| C. r \lessdot 2 | D. r=4 |
| Zadanie 38. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10216 |
Podpunkt 38.1 (1 pkt)
« Nierówność 16x^2-8x+y^2-2y-142\leqslant 0
opisuje:
Odpowiedzi:
| A. punkt | B. zbiór pusty |
| C. dwie przecinające się proste | D. koło |
| E. całą płaszczyznę | F. okrąg |