Wzajemne położenie okręgu i prostej
Zadania dla klasy trzeciej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- położenie okręgu i prostej
- sieczna okręgu
- styczna do okręgu
- punkty wspólne okręgu i prostej
| Zadanie 1. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20390 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Prosta y=mx+n jest styczną do okręgu
x^2+y^2+ax+by+c=0 w punkcie
A=(x_a,y_a).
Podaj m.
Dane
x_a=-3
y_a=2
a=-2
b=2
c=-23
y_a=2
a=-2
b=2
c=-23
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Podaj n.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 2. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20395 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
» Prosta y=mx+n jest równoległa do prostej
y=-3x+2 i przecina okrąg
x^2+y^2+ax+by+c=0 w dokładnie jednym punkcie.
Podaj najmniejsze możliwe n.
Dane
a=4
b=4
c=-8
b=4
c=-8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe n.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20396 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
» Prosta y=mx+n jest prostopadła do prostej
y=2x-\frac{1}{2} i przecina okrąg
(x-a)^2+y^2-6(x-a)-2y+5=0 w dokładnie jednym punkcie.
Podaj najmniejsze możliwe n.
Dane
a=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 3.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe n.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20397 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
« Prosta y=mx+n jest styczną do okręgu o
równaniu x^2+y^2+ax+by+c=0 i tworzy z osią
Ox kąt o mierze
120^{\circ}.
Podaj najmniejsze możliwe n.
Dane
a=4
b=4
c=4
b=4
c=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 4.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe n.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20398 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Prosta y=mx+n jest styczną do okręgu o
równaniu x^2+y^2+ax+by+c=0 i przechodzi przez
punkt A=(x_a,y_a).
Podaj najmniejsze możliwe n.
Dane
x_a=-7
y_a=1
a=0
b=0
c=-10
y_a=1
a=0
b=0
c=-10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe n.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20399 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Środkiem okręgu stycznego do osi Ox w punkcie
(-1,0) i przechodzącego przez punkt
A=(2,9), jest punkt
S=(x_s,y_s).
Podaj x_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Podaj y_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20400 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Proste x+y+8=0, 7x-y-24=0 i
x-y+18=0 wyznaczają trójkąt, w który wpisano okrąg.
Wyznacz środek tego okręgu S=(x_s,y_s).
Wyznacz środek tego okręgu S=(x_s,y_s).
Podaj x_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj y_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20401 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
» Środek okręgu S=(x_s,y_s) stycznego do obu osi
układu należy do ćwiartki drugiej układu współrzędnych. Okrąg ten przechodzi
przez punkt P=(-8,1).
Podaj najmniejsze możliwe x_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20402 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
» Okrąg o środku S=(x_s,y_s) jest styczny
do prostych 2x+y+10=0 i
2x+y-10=0 i przechodzi przez punkt
A=(-3,0).
Podaj najmniejsze możliwe x_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe y_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20391 |
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Wyznacz miarę kąta między stycznymi do okręgu
x^2+y^2+8x-2y+12=0 poprowadzonymi przez punkt
A=(-1,0).
Podaj miarę stopniową tego kąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20392 |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Prosta 21x-28y-164=0 jest styczną do okręgu
o środku S=(3,-4).
Oblicz promień tego okręgu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20393 |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
» Punkty M=(0,2) i
N=(2,0) są punktami styczności okręgu i osi układu
współrzędnych, zaś prosta k: y=ax+b jest styczną
do tego okręgu w punkcie o odciętej równej 1
i tworzy z osią Ox kąt
\alpha\in(45^{\circ},90^{\circ}).
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20394 |
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
Przez punkt P=(2,1) poprowadzono dwie styczne do
okręgu o równaniu x^2+y^2+2x-4y=0.
Podaj z dokładnością do jednego stopnia miarę stopniową najmniejszego z kątów pod jakim przecięły się te styczne.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30295 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Prosta a_1x+b_1y+c_1=0 przecina okrąg
x^2+y^2+ax+by+c=0 w punktach
A i B. Wyznacz równanie
a_2x+y+c_2=0 symetralnej odcinka
AB.
Podaj a_2.
Dane
a_1=1
b_1=-2
c_1=1
a=0
b=4
c=-21
b_1=-2
c_1=1
a=0
b=4
c=-21
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj c_2.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.3 (1 pkt)
Wyznacz taki punkt P=(x_p,y_p) należący do
symetralnej odcinka AB, że
\triangle ABP jest prostokątny.
Podaj najmniejsze możliwe x_p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.4 (1 pkt)
Podaj największe możliwe y_p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30300 |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
« Prosta a_1x+b_1y+c_1=0 przecina okrąg
x^2+y^2+ax+by+c=0 w punktach
A i B.
Przez punkty A i B
poprowadzono dwie styczne do tego okręgu, które przecięły się w punkcie
C. Wyznacz środek okręgu
S=(x_s,y_s) opisanego na trójkącie
ABC.
Podaj x_s.
Dane
a_1=1
b_1=-2
c_1=4
a=6
b=-4
c=4
b_1=-2
c_1=4
a=6
b=-4
c=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 15.2 (1 pkt)
Podaj y_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 15.3 (2 pkt)
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie
ABC.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30301 |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Zbadaj wzajemne położenie prostej k_1:y=-x+1 i
okręgu o_1:x^2+y^2-2x-2y+2+4a-m=0 w zależności od
wartości parametru m.
Podaj największą liczbę m, dla której podane równanie nie opisuje okręgu.
Dane
a=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Podaj największą wartość m, dla której prosta
k_1 jest styczną do okręgu
o_1.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.3 (1 pkt)
Przedział (p,q) jest zbiorem tych wszystkich wartości
parametru m, dla których prosta
k_1 jest rozłączna z okręgiem
o_1.
Podaj p+q.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.4 (1 pkt)
Podaj najmniejszą wartość całkowitą parametru m, dla
której prosta k_1 przecina okrąg
o_1 w dwóch różnych punktach.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30302 |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
Prosta a_1x+b_1y+c_1=0 zawiera środek okręgu, który
przechodzi przez punkt A=(x_a,y_a) i jest styczny
do prostej o równaniu y+c_2=0.
Podaj najmniejszą możliwą długość promienia tego okręgu.
Dane
x_a=1
y_a=-1
a_1=1
b_1=-1
c_1=1
c_2=-3
y_a=-1
a_1=1
b_1=-1
c_1=1
c_2=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 17.2 (2 pkt)
Podaj najwiekszą możliwą długość promienia tego okręgu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30356 |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Punkty A=(x_a,y_a),
B=(x_b,y_b) i C=(x_c,y_c),
gdzie x_c\leqslant 0 i
y_c\leqslant 0, są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego o podstawie AB, opisanego
na okręgu o równaniu x^2+(y-b)^2=10.
Podaj x_b.
Dane
x_a=7
y_a=-3
b=-2
y_a=-3
b=-2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Podaj y_b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.3 (1 pkt)
Podaj x_c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.4 (1 pkt)
Podaj y_c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30304 |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
Dane są proste k:x+y+5=0,
l:7x-y-37=0 oraz punkt
P=(6,5)\in l. Istnieją dwa okręgi styczne do prostej
k i do prostej l w punkcie
P.
Wyznacz równanie (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 tego z okręgów, którego środek ma mniejszą odciętą.
Wyznacz równanie (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 tego z okręgów, którego środek ma mniejszą odciętą.
Podaj a+b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.2 (2 pkt)
Podaj r.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30305 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
» Proste k i l
przecinają się w punkcie C=(-2,2). Punkty
K=(1,-4) i L=(4,-1) należą
odpowiednio do prostych k i
l, a okrąg o(S, r) jest
styczny do obu tych prostych w punktach K i
L.
Wyznacz S=(x_s,y_s).
Wyznacz S=(x_s,y_s).
Podaj x_s+y_s.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 20.2 (2 pkt)
Wyznacz |CS|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 21. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30306 |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
Dany jest okrąg
x^2-14x+y^2+4y+49=0. Przez punkt
P=(2,0) poprowadzono dwie styczne do tego okręgu.
Wyznacz równania kierunkowe tych stycznych.
Podaj mniejszy ze współczynników kierunkowych stycznych.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 21.2 (2 pkt)
Podaj większy ze współczynników kierunkowych stycznych.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30307 |
Podpunkt 22.1 (4 pkt)
Dany jest okrąg
o:\ x^2-12x+y^2+2y-63=0. Przez punkt
P=(-14,9) poprowadzono dwie różne proste, które są
styczne do okręgu o w punktach
M i N.
Oblicz |MN|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30296 |
Podpunkt 23.1 (2 pkt)
Okrąg o:(x-a)^2+(y-b)^2=\left(1\frac{2}{5}\right)^2
przechodzi przez punkty wspólne okręgów
x^2-4x+y^2-2y+4=0 i
x^2-4x+y^2+8y-1=0.
Podaj najmniejsze możliwe b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (2 pkt)
Podaj największe możliwe b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30297 |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Punkty A=(5,0) i B=(-2,-1)
należą do okręgui, którego środek leży na prostej
y+4=0. Wyznacz równanie kanoniczne
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2tego okręgu.
Podaj a+b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 24.2 (2 pkt)
Podaj r.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 24.3 (2 pkt)
Prosta k:y=ax+b jest prostopadła do prostej
AB i oddalona od punktu
(4,-4) o \sqrt{2}.
Podaj najmniejsze możliwe b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30298 |
Podpunkt 25.1 (2 pkt)
« Styczne do okręgu x^2+y^2+2x-6y=10 są nachylone
do osi Ox pod takim kątem
\alpha, że
2\cos\alpha+\sin\alpha=0. Wyznacz równania tych
stycznych.
Zapisz równania stycznych w postaci kierunkowej y=mx+b_1 i y=mx+b_2. Podaj mniejszą z liczb b_1 i b_2.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 25.2 (2 pkt)
Podaj większa z liczb b_1 i
b_2.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 26. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30299 |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
» Okrąg (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 jest styczny do osi
Oy w punkcie C=(0,5) i
przechodzi przez punkt M=(4,9).
Podaj a+b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.2 (1 pkt)
Punkty A=(x_a,y_a) i
B=(x_b,y_b) należą do tego okręgu i wraz z punktem
C tworzą trójkąt równoboczny.
Podaj x_a+x_b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.3 (2 pkt)
Podaj max(y_a,y_b).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)