Przekroje wielościanów
Zadania dla klasy trzeciej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- przekroje graniastosłupów
- przekroje wielościanów
- pola powierzchni przekrojów wielościanów
| Zadanie 1. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30363 |
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
» Graniastosłup prosty o wysokości h ma w podstawie
kwadrat ABCD o boku długości
a. Płaszczyzna \pi zawiera
przekątna podstawy AC i tworzy z płaszczyzną
(ABCD) kąt o mierze
60^{\circ}. Płaszczyzna ta przecina krawędzie
A'D' i D'C' odpowiednio
w punktach P i Q.
Oblicz odległość wierzchołka D' od odcinka PQ.
Dane
a=\frac{15\sqrt{6}}{2}=18.37117307087384
h=6\sqrt{3}=10.39230484541326
h=6\sqrt{3}=10.39230484541326
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Oblicz |PQ|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.3 (2 pkt)
Wyznacz pole powierzchni tego przekroju.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 2. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30365 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Punkt P należy do krawędzi
BB' sześcianu.
Wyznacz maksymalną możliwą wysokość trójkąta APC opuszczoną na podstawę AC.
Dane
|BB'|=\frac{11}{2}=5.50000000000000
\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{13}=0.13323467750530
\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{13}=0.13323467750530
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Płaszczyzna APC nachylona jest do płaszczyzny
podstawy (ABCD) pod kątem
\alpha.
Wyznacz pole powierzchni trójkąta APC.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 2.3 (1 pkt)
Oblicz odległość wierzchołka B od płaszczyzny
APC.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30367 |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
» Punkt P jest środkiem krawędzi
AB graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną CPA',
która jest nachylona do płaszczyzny podstawy graniastosłupa
(ABC) pod kątem \alpha.
W przekroju otrzymano trójkąt o polu powierzchni
S.
Oblicz |PC|.
Dane
S=2040\sqrt{3}=3533.38364744050970
\sin\alpha=\frac{8}{17}=0.47058823529412
\sin\alpha=\frac{8}{17}=0.47058823529412
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 3.2 (2 pkt)
Oblicz objetość tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30368 |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
« W graniastosłupie trójkątnym prawidłowym ABCA'B'C' punkt
P jest środkiem ciężkości górnej podstawy
A'B'C'. Płaszczyzna (ABP)
nachylona jest do płaszczyzny dolnej podstawy (ABC) pod
kątem 60^{\circ} i w przekroju z graniastosłupem daje wielokąt
o polu powierzchni S.
Oblicz wysokość tego graniastosłupa.
Dane
S=\frac{640\sqrt{3}}{3}=369.50417228136049
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 4.2 (2 pkt)
Oblicz długość ramienia trapezu otrzymanego w przekroju.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30370 |
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Punkty P i Q sa środkami krawędzi
odpowiednio AB i BC graniastosłupa
czworokątnego prawidłowego ABCDA'B'C'D'.
Przez te punkty poprowadzono płaszczyznę, która przecina krawędzie boczne
graniastosłupa AA', CC' i
DD' odpowiednio w punktach F,
G i H i tworzy z płaszczyzną
podstawy graniastosłupa kąt o mierze a.
Oblicz wysokość trapezu PQGF.
Dane
|AB|=20
\alpha=30^{\circ}
\alpha=30^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Oblicz pole powierzchni trapezu PQGF.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 5.3 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni pieciokąta PQGHF.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30371 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDA'B'C'D'
przecięto płaszczyzną (ACQP), przy czym punkty
P i Q należą do krawędzi
odpowiednio A'B' i B'C'.
Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość a,
jego wysokość długość h, a płaszczyna
(ACQP) nachylona jest do podstawy graniastosłupa
pod kątem \alpha.
Oblicz wysokość trapezu otrzymanego w przekroju.
Dane
a=12
h=36
\tan\alpha=6\sqrt{2}=8.48528137423857
h=36
\tan\alpha=6\sqrt{2}=8.48528137423857
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Oblicz długość odcinka PQ.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 6.3 (1 pkt)
Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30378 |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
« Graniastosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą
przez dolną i górną krawędź podstawy, które nie należą do tej samej ściany
bocznej. Pole powierzchni otrzymanego przekroju jest równe
P, a przekątna ściany bocznej graniastosłupa tworzy
z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \alpha.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Dane
P=48\sqrt{2}=67.88225099390856
\tan\alpha=\sqrt{6}=2.44948974278318
\tan\alpha=\sqrt{6}=2.44948974278318
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30793 |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
« Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F'
przecięto płaszczyzną (ACB'), która jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \alpha.
Pole powierzchni otrzymanego przekroju jest równe P.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Dane
P=46\sqrt{3}=79.67433714816836
\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}=0.43301270189222
\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}=0.43301270189222
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 8.2 (2 pkt)
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (6 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30372 |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
» Krawędź czworościanu foremnego ma długość a.
Oblicz wysokość tego czworościanu.
Dane
a=16
k=\frac{27}{64}=0.42187500000000
k=\frac{27}{64}=0.42187500000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (2 pkt)
Oblicz promień kuli wpisanej w ten czworościan.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.3 (2 pkt)
Czworościan ten przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy, która
odcięła z tego czworościanu ostrosłup, którego objętość stanowi
k-tą część objętości czworościanu. Płaszczyzna ta
przecięła wysokość czworościanu w punkcie K.
Oblicz odległość środka kuli wpisanej w ten czworościan od punktu K.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30373 |
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
« Krawędź czworościanu foremnego ABCS o podstawie
(ABC) ma długość a.
Punkt P należy do krawędzi podstawy
BC i dzieli tę krawędź w stosunku
k. Przez punkt P
poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do ściany (BCS),
która odcięła z tego czworościanu ostrosłup.
Oblicz objętość odciętego ostrosłupa.
Dane
a=160
k=|BP|:|PC|=\frac{1}{5}=0.20000000000000
k=|BP|:|PC|=\frac{1}{5}=0.20000000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.2 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30374 |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Czworościan foremny przecięto płaszczyną przechodzącą przez krawędź
boczną i wysokość podstawy. W przekroju otrzymano trójkąt, którego wysokość
opuszczona na najdłuższy bok ma długość h.
Oblicz wysokość tego czworościanu.
Dane
h=16
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Oblicz objętość tego czworościanu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30395 |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Ostrosłup o podstawie ABC na rysunku jest prawidłowy.
Punkty E, F i
G są środkami jego krawędzi podstawy, a trójkąt
EGS jest równoboczny.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
Dane
H=40\sqrt{6}=97.97958971132712
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 12.2 (2 pkt)
Oblicz objętość ostrosłupa EBCGS.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)