Funkcja kwadratowa - zadania optymalizacyjne

 « Rozpatrujemy prostokąty o obwodzie 124. Na takim prostokącie o największym polu powierzchni opisano okrąg.

Oblicz długość promienia tego okręgu.

 « Suma dwóch liczb jest równa 32\sqrt{2}, a ich iloczyn ma największą możliwą wartość.

Oblicz mniejszą z tych liczb.

 « Rzucono pionowo do góry kamień z prędkością początkową 10\ m/s. Wysokość s\ [m], jaką osiągnie ten kamień po t sekundach czasu opisuje wzór s(t)=20t-t^2.

Podaj maksymalną wysokość jaką osiągnie ten kamień.

 Mniejsza część zawodników klubu sportowego liczącego 87 osób, zachorowała na grypę. Każdy zdrowy zawodnik postanowił wysłać każdemu choremu kartkę z pozdrowieniami. Liczba wszystkich wysłanych kartek była największa możliwa.

Ilu zawodników było chorych?

 Większa część zawodników klubu sportowego liczącego 69 osób, zachorowała na grypę. Każdy zdrowy zawodnik postanowił wysłać każdemu choremu kartkę z pozdrowieniami. Liczba wszystkich wysłanych kartek była największa możliwa.

Ilu zawodników było chorych?

 Suma długości podstawy trójkąta i wysokości opuszczonej na tę podstawę jest równa 34. Przy jakich długościach podstawy i wysokości trójkąt ten ma największe możliwe pole powierzchni.

Podaj długość podstawy tego trójkąta.

 Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem Z(x)=(800+50x)(22-x) gdzie:

• x – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x\geqslant 1 i x\leqslant 22,
• Z – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego:

 Pewne ciało w czasie t\ [s] przebyło drogę s [m], którą opisuje wzór s(t)=t^2+13t+2, gdzie t\in\langle 3,7\rangle.

Oblicz długość drogi przebytej przez to ciało w ciągu 4 sekund ruchu.

 Wyznacz średnią prędkość w metrach na sekundę tego ciała.

 Wiadomo, że x-y=76, a także, że suma x^2+y^2 jest najmniejsza możliwa.

Podaj liczbę x.

 Podaj liczbę y.

 Dany jest prostokąt o bokach długości 4 i 13. Długość krótszego boku tego prostokąta zwiększono o x, a długość boku dłuższego zmniejszono o x. Funkcja opisana wzorem f(x)=ax^2+bx+c wyraża pole powierzchni zmienionego prostokąta.

Podaj współczynniki tej funkcji.

 Podaj największe możliwe pole powierzchi tego prostokąta.

 Sprzedawca miesięcznie sprzedaje k=64 laptopów w cenie 3600 złotych sztuka. Zauważył, że każda obniżka ceny laptopa o 20 złotych zwiększa sprzedaż o jedną sztukę miesięcznie.

Ile powinien kosztować jeden laptop, aby osiągnięty dochód był maksymalny?

 Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n)=-n^2+20n+276, gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n\geqslant 1 i n\leqslant 29.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów?

 Ile wówczas obsłużono klientów?

 Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód P ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o x zł, wyraża się wzorem P(x)=(86-x)(20+x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x\geqslant 0 i x\leqslant 84.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba x będzie równa:

 Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 2805 zł, gdy liczba x będzie równa:

 Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 40. Wyznacz liczbę x, dla której wartość wyrażenia 3x^2+y^2 jest najmniejsza.

Podaj liczbę x.

 Podaj najmniejszą wartość tego wyrażenia.

 « Ze sznurka o długości d cm zrobiono dwa prostokąty P_1 i P_2. W prostokącie P_1 jeden z boków jest dwukrotnie dłuższy od drugiego, zaś w prostokącie P_2 jeden bok jest czterokrotnie krótszy od boku drugiego. Wówczas okazało się, że suma pól powierzchni obu prostokątów P_1 i P_2 była najmniejsza z możliwych.

Podaj długość krótszego boku prostokąta P_1.

 Podaj długość krótszego boku prostokąta P_2.

 » W trójkąt równoramienny o podstawie a i ramieniu długości b wpisano prostokąt w taki sposób, że jeden z boków prostokąta zawiera się w podstawie trójkąta i ma długość 2x. Wyznacz x tak, aby pole wpisanego prostokąta było jak największe.

Ile wynosi to największe pole prostokąta?

 Jaką długość ma dłuższy bok prostokąta o największym polu powierzchni?

 Prostokąt ma obwód o długości d i najkrótszą z możliwych przekątnych.

Podaj pole powierzchni tego prostokąta.

 Jaką długość ma dłuższy bok prostokąta?

 Pan Nowak ma d metrów bieżących siatki i zamierza ogrodzić ogródek w kształcie prostokąta o możliwie największej powierzchni, przy czym na jednym z boków tego prostokąta musi zostawić 4 m na bramę wjazdową. Jakie wymiary powinien mieć prostokątny ogródek, aby jego pole powierzchni było jak największe?

Podaj krótszy bok tego prostokąta.

 Podaj pole powierzchni tego prostokąta.

 Liczby x i y spełniają warunek x+y=a i są takie, że wyrażenie 2x^2+3y^2 ma najmniejszą możliwą wartość.

Podaj mniejszą z tych liczb.

 Podaj większą z tych liczb.

 «« Punkt A=(x_0, y_0) należy do paraboli y=ax^2+bx+c i różnica x_0-y_0 jest największa możliwa.

Podaj wartość x_0.

 Podaj wartość y_0.

 «« Funkcja liniowa określona jest wzorem y=x-p. Na wykresie tej funkcji znajdź taki punkt o współrzędnych P=(a,b), aby suma a^2+b^2 miała najmniejszą możliwą wartość.

Podaj tę najmniejszą możliwą sumę.

 » Funkcja liniowa określona jest wzorem y=ax+b. Na wykresie tej funkcji znajdź taki punkt o współrzędnych P=(x_0,y_0), aby iloczyn x_0\cdot y_0 był największy możliwy.

Podaj ten największy możliwy iloczyn.

 Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długość |AB|=600 m i |CD|=40 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD: P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}.

 Wyznacz tę największą powierzchnię.

 Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 164 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x)=164x,

koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x)=5x^2+4x+155.

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

 Oblicz maksymalny zysk zakładu.

 Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 34 dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe możliwe.

 Oblicz to największe możliwe pole powierzchni okna.

 Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją P(x)=271x,

koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją K(x)=x^2+15x+235
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej n=255 wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy.

 Ile wynosi ten największy zysk?

 Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 420 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Wyznacz dłuższy bok tego kąpieliska, którego powierzchnia jest największa możliwa.

 Wyznacz krótszy bok tego kąpieliska, którego powierzchnia jest największa możliwa.

 W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 152 metrów bieżących siatki.
Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.

Podaj liczby x i y.

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 90 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Wyznacz długość boku x, dla której pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest największe.

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 44 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 78 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.