Równania i nierówności kwadratowe z parametrem
Funkcje zależne od pierwiastków

 » Dana jest nierówność x^2-4(m+4)x-32m^2-256m-512 \lessdot 0 z parametrem m\in\mathbb{N_+} i m\geqslant 10. Funkcja g określona jest dla liczb naturalnych m\geqslant 10 i jej wartością dla liczby m jest największe z całkowitych rozwiązań podanej nierówności.
Funkcja g jest funkcją liniową określoną wzorem g(x)=ax+b.

Podaj a.

 Podaj b.

 Dla jakich wartości parametru m równanie x^2+2x+m+7=0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek \left|x_1\right|+\left|x_2\right|\leqslant 3?

Rozwiązaniem jest przedział postaci:

 Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 « Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x^2+(m-a)x+m-2-a=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że ich suma kwadratów jest minimalna możliwa.

Podaj najmniejsze możliwe m, które spełnia warunki zadania.

Ile rozwiązań ma to zadanie?

 » Liczby x_1 i x_2 są różnymi pierwiastkami równania ax^2+4mx+2m=0. Funkcja g liczbie m przyporządkowuje sumę kwadratów pierwiastków tego równania. Wyznacz dziedzinę funkcji g. Wiadomo, że D_g=\mathbb{R}-\langle p, q\rangle.

Podaj p.

 Podaj q.

 Zapisz wzór funkcji g. Funkcja h określona jest wzorem h(x)=g(x) i jej dziedziną jest zbiór \mathbb{R}.

Podaj miejsca zerowe funkcji h.

» Dane jest równanie x^2+mx-2x+1=0. Funkcja g przyporządkowuje liczbie m liczbę \frac{x_1+x_2}{\sqrt{x_1x_2}}, gdzie x_1,x_2 są pierwiastkami tego równania. Wyznacz D_g.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

Oblicz g(-2-\sqrt{2}).

« Dana jest funkcja f(x)=\frac{m^2-11m+24}{m}x^2-(m+3)x+m, gdzie m\neq 0. Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja ta przyjmuje wartość największą.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę tych końców przedziałów, które są liczbami całkowitymi.

Dla jakich wartości parametru m funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe?

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

Dla jakich wartości parametru m funkcja przyjmuje wartość największą i różne miejsca zerowe funkcji f mają różne znaki.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców tych przedziałów, które są liczbami całkowitymi.

 Funkcja f dwóm różnym rozwiązaniom x_1 i x_2 równania x^2+(m+8)x-m-9=0 przyporządkowuje sumę ich kwadratów f(m)=x_1^2+x_2^2. Funkcja ta określona jest wzorem postaci f(m)=am^2+bm+c.

Podaj liczby a, b i c.

 Wyznacz wartość parametru m, dla której funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą.

 Równanie kwadratowe x^2+(m+8)(m+8-x)=3m+27 ma dwa różne rozwiązania x_1 i x_2 gdy parametr m należy do zbioru postaci (-\infty, p)\cup(q, +\infty). Zapisz liczbę q w najprostszej postaci a+b\sqrt{c}, gdzie a,b,c\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby a, b i c.

 Funkcja f określona wzorem f(m)=x_1^2+x_2^2 przyjmuje wartość największą dla argumentu m_0.

Podaj liczbę m_0.