Kąty i koła
Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
- kąt środkowy
- kąt wpisany w okrąg
- kąty oparte na łuku
- kąty w okręgu
- kąt dopisany do okręgu
- łuk okręgu
- cięciwa okręgu
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10546 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, w którym
\alpha=24^{\circ}:
Wyznacz miary stopniowe kątów \beta i \gamma.
Odpowiedzi:
| \beta | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| \gamma | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10494 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
« Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku,
w którym \alpha=22^{\circ}:
Wyznacz miary stopniowe kątów \beta i \gamma.
Odpowiedzi:
| \beta | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| \gamma | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10504 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu, w którym
\alpha=22^{\circ}:
Oblicz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10544 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, w którym
\alpha=92^{\circ} i
\beta=104^{\circ}:
Oblicz miarę stopniową kąta \gamma.
Odpowiedź:
\gamma=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10526 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Dany jest okrąg o(O, r):
Oblicz miarę stopniową kąta \alpha.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 6. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10543 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
» Czworokąt na rysunku jest kwadratem o boku długości
2\sqrt{2}, a okręgi przechodzące przez punkty
A i C mają środki w
punktach B i D:
Oblicz pole powierzchni zielonej figury i zapisz wynik w postaci m+n\cdot \pi, gdzie m,n\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby m i n.
Odpowiedzi:
| m | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| n | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 7. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10482 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Kąt środkowy okręgu \alpha i kąt wpisany w ten okrąg są oparte na tym samym łuku.
Suma ich miar jest równa 102^{\circ}.
Jaka jest miara stopniowa kąta środkowego?
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10547 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, w którym
\beta=110^{\circ} i
\gamma=25^{\circ}:
Obicz miarę stopniową kąta \alpha.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 9. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10548 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, w którym
\alpha=44^{\circ}:
Oblicz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 10. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10483 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, w którym:
\alpha=16^{\circ} i
\beta=40^{\circ}:
Oblicz miarę stopniową kąta \gamma.
Odpowiedź:
\gamma=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 11. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10484 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Oblicz miarę stopniową kąta środkowego opartego na łuku, którego długość jest równa
\frac{2}{5} długości okręgu.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 12. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10485 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trojkącie
równoramiennym, a prosta jest styczną do tego okręgu:
Wiedząc, że \alpha=130^{\circ}, wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 13. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10486 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku:
Wiedząc, że \alpha=26^{\circ}, wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 14. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10542 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Pięć punktów na okręgu dzieli go na łuki o długościach
1, 2,
6, 3 i
x. Kąt środkowy tego okręgu oparty na łuku o długości
1 ma miarę 20^{\circ}.
Oblicz x.
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 15. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10488 |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy
AB, w którym \alpha=92^{\circ}:
Oblicz miarę stopniową kąta \gamma.
Odpowiedź:
\gamma=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 16. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10489 |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, w którym \alpha=42^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 17. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10539 |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, przy czym
\alpha=47^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 18. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10491 |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
« W kąt \alpha o mierze 32^{\circ} wpisano okrąg o środku
O styczny do ramion kąta w punktach
A i B.
Wyznacz miarę stopniową mniejszego z kątów środkowych okręgu AOB.
Odpowiedź:
|\sphericalangle AOB|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 19. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10492 |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, w którym:
|AO|=3 oraz |AB|=3\sqrt{3}:
Wówczas:
Odpowiedzi:
| A. |\sphericalangle BCA|=90^{\circ} | B. |\sphericalangle BOC|=60^{\circ} |
| C. |\sphericalangle BAC|=45^{\circ} | D. |\sphericalangle BCA|=45^{\circ} |
| Zadanie 20. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10493 |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
» Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 25^{\circ}
mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Oblicz miarę stopniową kąta wpisanego w ten okrąg.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 21. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10495 |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
» Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe
27 i 36.
Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
Odpowiedź:
| d= | |
| Zadanie 22. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10496 |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
«« Na okręgu o promieniu długości r zaznaczono
punkty A i B, które
wyznaczyły łuk o długości \frac{\pi}{3}\cdot r.
Wyznacz miarę stopniową kąta wpisanego w ten okrąg opartego na tym łuku.
Odpowiedź:
| Wpisz odpowiedź: | |
| Zadanie 23. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10478 |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
«« Kąt wpisany w okrąg o promieniu \sqrt{7} ma miarę
3^{\circ}. Długość łuku, na którym oparty jest
ten kąt można zapisać w postaci a\cdot \sqrt{7}\cdot \pi.
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 24. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10498 |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
» Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, przy czym
|OB|=|BC| i \alpha=36^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 25. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10499 |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Oblicz miarę stopniową zaznaczonego na rysunku kąta \gamma wiedząc,
że \alpha=30^{\circ} i \beta=48^{\circ}:
.
.
Odpowiedź:
\gamma=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 26. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10500 |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
« Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość
2\sqrt{3}.
Oblicz pole powierzchni tego sześciokąta.
Odpowiedź:
| P= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 27. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10536 |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu, przy czym \beta=22^{\circ}:
Kąt \alpha, zaznaczony na rysunku, ma miarę:
Odpowiedzi:
| A. 34^{\circ} | B. 29^{\circ} |
| C. 37^{\circ} | D. 38^{\circ} |
| E. 30^{\circ} | F. 40^{\circ} |
| Zadanie 28. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10535 |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, przy czym
\alpha=206^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 29. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10514 |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, przy czym
\beta=12^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową zaznaczonego na rysunku kąta \alpha.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 30. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10505 |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Punkt O na rysunku jest środkiem okręgu, przy czym
\alpha=30^{\circ}:
Wyznacz miarę zaznaczonego na rysunku kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 31. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10506 |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem a prosta jest styczną
to tego okręgu, przy czym
\alpha=52^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 32. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10507 |
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Suma miar kąta środkowego okręgu i kąta wpisanego w ten okrąg, opartego są na tym samym łuku
jest równa 42.
Oblicz miarę kąta środkowego.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 33. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10508 |
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
» Kąt \alpha wpisany w okrąg o promieniu długości 15
oparty jest na łuku o długości 4\pi.
Wyznacz miarę tego kąta.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 34. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10509 |
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
«« Kąt wpisany w okrąg o promieniu długości 36 ma miarę
65^{\circ}. Kąt ten oparty jest na łuku o długości k\cdot \pi.
Wyznacz liczbę k.
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 35. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10510 |
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
Na łuku okręgu o długości równej \frac{1}{5} długości okręgu, oparto dwa kąty:
kąt wpisany w ten okrąg i kąt środkowy tego okręgu.
Wyznacz sumę miar stopniowych tych kątów.
Odpowiedź:
suma=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 36. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10511 |
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
Kąt \alpha na rysunku ma miarę 24^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta zaznaczonego na rysunku.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 37. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10512 |
Podpunkt 37.1 (1 pkt)
Punkt O na rysunku jest środkiem okręgu, a kąty mają miary
\alpha=82^{\circ} oraz
\beta=90^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta ABC.
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABC|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 38. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10513 |
Podpunkt 38.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku, a kąt:
\alpha ma miarę 194^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta zaznaczonego na rysunku.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 39. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10538 |
Podpunkt 39.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu:
Wyznacz miarę stopniową kąta ACO.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 40. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10516 |
Podpunkt 40.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu, a kąty mają miary
\alpha=21^{\circ} oraz
\beta=32^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \gamma.
Odpowiedź:
\gamma=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 41. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10517 |
Podpunkt 41.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu, przy czym
\alpha=102^{\circ}:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 42. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10518 |
Podpunkt 42.1 (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu,
kąt \alpha ma miarę 224^{\circ}
a prosta jest styczna do tego okręgu:
Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.
Odpowiedź:
\beta=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 43. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10519 |
Podpunkt 43.1 (1 pkt)
Na okręgu o środku O zaznaczono k=5
wierzchołków wielokąta foremnego. Spośród nich wybrano trzy kolejne i narysowano kąt
jak na rysunku:
Wyznacz miarę stopniową kąta \alpha.
Odpowiedź:
\alpha=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 44. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10520 |
Podpunkt 44.1 (1 pkt)
Na okręgu zaznaczono wierzchołki 12-kąta foremnego.
Spośród nich wybrano pięć kolejnych i narysowano kąt jak na rysunku:
Wyznacz miarę stopniową kąta \alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 88. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20201 |
Podpunkt 88.1 (1 pkt)
» Na trójkącie ABC opisano okrąg.
W punkcie C poprowadzono styczną do okręgu, jak
na rysunku.
Wiedząc, że CE jest dwusieczną kąta BCA oblicz miary kątów trójkąta EFC.
Wiedząc, że CE jest dwusieczną kąta BCA oblicz miary kątów trójkąta EFC.
Podaj miarę stopniową najmniejszego z kątów tego trójkąta.
Dane
\alpha=40^{\circ}
\beta=70^{\circ}
\beta=70^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 88.2 (1 pkt)
Podaj miarę stopniową największego z kątów tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 89. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20202 |
Podpunkt 89.1 (1 pkt)
« Na trójkącie ABC opisano okrąg.
Z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzono
styczną do okręgu w punkcie A oraz sieczną,
która przecięła okrąg w punktach B i
C.
Oblicz miary kątów trójkąta APC.
Podaj miarę stopniową najmniejszego z kątów tego trójkąta.
Dane
\alpha=50^{\circ}
\beta=82^{\circ}
\beta=82^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 89.2 (1 pkt)
Podaj miarę stopniową największego z kątów tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 90. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20203 |
Podpunkt 90.1 (2 pkt)
Brązowy czworokąt na rysunku jest prostokątem:
Oblicz miarę stopniową kąta \alpha.
Dane
\beta=53^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 91. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20204 |
Podpunkt 91.1 (2 pkt)
» Korzystając z danych na rysunku oblicz miarę stopniową
kąta \beta:
Dane
\alpha=39^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 92. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20783 |
Podpunkt 92.1 (2 pkt)
Z punktu C leżącego poza okręgiem poprowadzono
sieczną okręgu zawierającą środek okręgu S oraz
taką sieczną przecinającą ten okrąg w punktach A
i B, że |SB|=|BC|.
Oblicz |\sphericalangle ASD|.
Dane
|\sphericalangle BCE|=11^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 93. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20784 |
Podpunkt 93.1 (2 pkt)
Z punktu C leżącego poza okręgiem poprowadzono
sieczną okręgu zawierającą środek okręgu S oraz
taką sieczną przecinającą ten okrąg w punktach A
i B, że |SB|=|BC|.
Oblicz |\sphericalangle BCS|.
Dane
|\sphericalangle ASD|=39^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Liczba wyświetlonych zadań: 50
Liczba pozostałych zadań dostępnych dla zarejestrowanych nauczycieli: 49