⇒ Matury CKE
⇒ Rankingi
⇒ Wyniki uczniów
♦ Testy i arkusze
♦ Działy
♦ Rozwiązalność
⇒ Strona główna
⇒ Zaloguj mnie
Funkcja homograficzna i jej zastosowania
Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- zastosowania funkcji homograficzna
- rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem własności funkcji homograficznej
| Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10314 ⋅ Poprawnie: 93/129 [72%] | Rozwiąż |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=\frac{ax-b}{x} dla każdej liczby rzeczywistej
x\neq 0. Oblicz f(\sqrt{2}) i zapisz
wynik w najprostszej postaci m+n\sqrt{k}, gdzie
m,n,k\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby m i n.
Dane
a=10
b=20
b=20
Odpowiedzi:
| m | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| n | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10315 ⋅ Poprawnie: 118/148 [79%] | Rozwiąż |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Dziedziną funkcji f(x)=\frac{x+a}{x+b}
jest zbiór \mathbb{R}-\{m\}.
Podaj liczbę m.
Dane
a=9
b=4
b=4
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 3. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10318 ⋅ Poprawnie: 43/60 [71%] | Rozwiąż |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Do wykresu funkcji
f(x)=\frac{x+a}{x+b}
należy punkt o współrzędnych:
Dane
a=9
b=-3
b=-3
Odpowiedzi:
| A. (20,-1) | B. (-4,0) |
| C. (0,-3) | D. (19,3) |
| E. (14,2) | F. (21,4) |
| Zadanie 4. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10134 ⋅ Poprawnie: 47/94 [50%] | Rozwiąż |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
« Wiadomo, że wykres funkcji określonej wzorem
f(x)=\frac{x+m+16}{mx-2m+1}
nie ma punktów wspólnych z prostą określoną równaniem
x=-\frac{17}{2}.
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
| m= | |
| Zadanie 5. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10135 ⋅ Poprawnie: 137/161 [85%] | Rozwiąż |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Wiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem
f(x)=\frac{x+1}{2x+m+20}
jest zbiór (-\infty,-6)\cup(-6,+\infty).
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 6. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10138 ⋅ Poprawnie: 73/100 [73%] | Rozwiąż |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
« Funkcja f(x)=\frac{x+m}{x+8} jest funkcją
homograficzną przedziałami malejącą.
Wówczas:
Odpowiedzi:
| A. m=11 | B. m=3 |
| C. m=4 | D. m=5 |
| E. m=6 | F. m=7 |
| Zadanie 7. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10437 ⋅ Poprawnie: 2/3 [66%] | Rozwiąż |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
« Funkcja f(x)=\frac{x+m}{x+8} jest funkcją
homograficzną przedziałami rosnącą.
Wówczas:
Odpowiedzi:
| A. m=10 | B. m=11 |
| C. m=12 | D. m=9 |
| E. m=13 | F. m=5 |
| Zadanie 8. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10136 ⋅ Poprawnie: 31/57 [54%] | Rozwiąż |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Na poniższym rysunku pokazano fragment wykresu funkcji homograficznej
y=f(x), której dziedziną jest zbiór
\mathbb{R}-\{3\}.
Równanie 6|2-f(x)|+p+8=0 z niewiadomą x ma dokładnie dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy:
Odpowiedzi:
| A. p\lessdot 8 | B. p=0\vee p=-8 |
| C. p\lessdot -8 | D. p > -8 |
| Zadanie 9. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10137 ⋅ Poprawnie: 88/194 [45%] | Rozwiąż |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej
y=f(x), której dziedziną jest zbiór
D=\mathbb{R}-\{3\}.
Równanie |f(x)|=p+8 z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy:
Odpowiedzi:
| A. p\in\{-7,-6\} | B. p\in\{-8,-6\} |
| C. p\in\{-8\} | D. p\in\{-6\} |
| Zadanie 10. 3 pkt ⋅ Numer: pr-20824 ⋅ Poprawnie: 48/76 [63%] | Rozwiąż |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
« Dane jest równanie mx+y-xy=1. Zaznacz w układzie
współrzędnych zbiór wszystkichj punktów, których współrzędne spełniają
to równanie.
Otrzymany zbiór można otrzymać z przesunięcia wykresu funkcji y=\frac{a}{x} o wektor [p,q].
Otrzymany zbiór można otrzymać z przesunięcia wykresu funkcji y=\frac{a}{x} o wektor [p,q].
Podaj a.
Dane
m=15
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj p.
Odpowiedź:
p=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.3 (1 pkt)
Podaj q.
Odpowiedź:
q=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 11. 3 pkt ⋅ Numer: pr-20825 ⋅ Poprawnie: 93/228 [40%] | Rozwiąż |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Dana jest funkcja, która nie przyjmuje wartości -2:
Wyznacz m.
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Wyznacz miejsce zerowe tej funkcji.
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.3 (1 pkt)
Oblicz f(k\sqrt{2}-1). Wynik zapisz w postaci
a+b\sqrt{2}, gdzie
a,b\in\mathbb{W}.
Podaj a+b.
Dane
k=15
Odpowiedź:
| a+b= | |
| Zadanie 12. 3 pkt ⋅ Numer: pr-20263 ⋅ Poprawnie: 1/10 [10%] | Rozwiąż |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
» Dana jest funkcja
f(x)=\frac{|x^2-81|}{9-|x|}
.
Dla jakich wartości parametru m równanie
f(x)=3m+5 jest sprzeczne?
Podaj najmniesze takie m.
Odpowiedź:
| m_{min}= | |
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy
z wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| m_{max}= | |
Podpunkt 12.3 (1 pkt)
Dla jakiej wartości parametru m równanie to
ma dokładnie jedno rozwiązanie?
Odpowiedź:
| m= | |
| Zadanie 13. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20238 ⋅ Poprawnie: 92/128 [71%] | Rozwiąż |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Naszkicuj wykres funkcji
h(x)=\frac{9|x|}{6+|x|}. Na podstawie wykresu
rozwiąż nierówność h(x) \lessdot 8.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
min=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 14. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20237 ⋅ Poprawnie: 37/106 [34%] | Rozwiąż |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
« Wyznacz zbiór wartości funkcji
g(x)=\frac{7|x|-9}{1+|x|}.
Podaj najmniejszą liczbę całkowitą należącą do rozwiązania.
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj największą liczbę całkowitą należącą do rozwiązania.
Odpowiedź:
max=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 15. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20753 ⋅ Poprawnie: 48/127 [37%] | Rozwiąż |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Punkt o współrzędnych A=(x_A,y_A) jest środkiem
symetrii wykresu funkcji homograficznej
f(x)=\frac{ax+b}{x+d}.
Oblicz \frac{a}{d}.
Dane
x_A=6
y_A=-2
y_A=-2
Odpowiedź:
| \frac{a}{d}= | |
| Zadanie 16. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20239 ⋅ Poprawnie: 20/39 [51%] | Rozwiąż |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
» Dane są funkcje f(x)=\frac{2x+8b+64}{ax+1} oraz
g(x)=\frac{ax+2c+16}{ax+1}. Wykresy tych funkcji
przecinają się w punkcie
A=\left(4,\frac{12}{5}\right). Miejscem zerowym
funkcji g jest liczba
-8. Wyznacz a,
b i c.
Podaj a+c.
Odpowiedź:
a+c=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
| c= | |
| Zadanie 17. 3 pkt ⋅ Numer: pr-20240 ⋅ Poprawnie: 20/46 [43%] | Rozwiąż |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
«« Dana jest funkcja homograficzna:
h(x)=\frac{mx-66}{x-m}
.
Wykres funkcji h powstaje z przesunięcia wykresu funkcji pewnej funkcji postaci f(x)=\frac{a}{x} o pewien wektor \vec{u}=[p,q]. Dla m=8 wyznacz ten wektor.
Podaj p.
Odpowiedź:
p=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 17.2 (1 pkt)
Podaj q.
Odpowiedź:
q=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 17.3 (1 pkt)
Dla jakich wartości m funkcja ta jest malejąca
w przedziale (m,+\infty).
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów, które są liczbami dodatnimi.
Odpowiedź:
k\sqrt{n}=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 18. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20242 ⋅ Poprawnie: 14/69 [20%] | Rozwiąż |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
«« Funkcja homograficzna h(x)=\frac{8mx-1}{8m-x} jest rosnąca
w każdym przedziale zawartym w dziedzinie tej funkcji. Wyznacz te wartości
parametru m, dla których spełniony jest ten warunek.
Podaj najmniejszą dodatnią liczbę m, dla której nie jest spełniony ten warunek.
Odpowiedź:
| m= | |
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Jeśli m=1, to
ZW_h=\mathbb{R}-\{y_0\}.
Podaj y_0.
Odpowiedź:
y_0=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 19. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20241 ⋅ Poprawnie: 45/116 [38%] | Rozwiąż |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
« Funkcja homograficzna h jest rosnąca w
każdym z przedziałów (-\infty,0) i
(0,+\infty). Do zbioru wartości tej funkcji nie
należy liczba 8 oraz
h(-8)=\frac{77}{8}.
Wyznacz miejsce zerowe funkcji h.
Odpowiedź:
| x= | |
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność h(x)>-\frac{1}{2}.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| s= | |
| Zadanie 20. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30167 ⋅ Poprawnie: 18/124 [14%] | Rozwiąż |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
« Rozwiązaniem układu równań
\begin{cases}
x-3my=6 \\
3mx-y=7
\end{cases}
jest para liczb (x_m,y_m). Funkcja
h określona jest wzorem
h(m)=\frac{x_m}{y_m}. Wyznacz dziedzinę funkcji
h.
Podaj najmniejszą wartość m, która nie należy do dziedziny funkcji h.
Odpowiedź:
| min= | |
Podpunkt 20.2 (1 pkt)
Podaj największą wartość m, która nie należy do
dziedziny funkcji h.
Odpowiedź:
| max= | |
Podpunkt 20.3 (2 pkt)
Podaj miejsce zerowe funkcji h.
Odpowiedź:
| h(x)=0\iff x= | |
| Zadanie 21. 5 pkt ⋅ Numer: pr-30796 ⋅ Poprawnie: 1/88 [1%] | Rozwiąż |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
(2 pkt) «« Liczby rzeczywiste x_1 i x_2
są różnymi pierwiastkami równania x^2+3x+\frac{m-a}{m-b}=0
o niewiadomej x\in\mathbb{R}, z parametrem
m, a funkcja f określona jest
wzorem f(m)=\frac{x_1^3+x_2^3}{3}.
Zbiór (-\infty,p)\cup(q,+\infty) jest dziedziną funkcji f. Podaj q.
Dane
a=9
b=10
b=10
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 21.2 (1 pkt)
(1 pkt) Podaj ilość miejsc zerowych funkcji f.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 21.3 (1 pkt)
(1 pkt) Wykres funkcji f można otrzymać z przesunięcia równoległego
fragmentu wykresu pewnej funkcji podstawowej określonej wzorem
y=\frac{c}{x}, o wektor o współrzednych
\vec{u}=[u_1,u_2].
Podaj c.
Odpowiedź:
c=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 21.4 (1 pkt)
(1 pkt) Podaj u_1.
Odpowiedź:
u_1=
(wpisz liczbę całkowitą)