⇒ Matury CKE
⇒ Rankingi
⇒ Wyniki uczniów
♦ Testy i arkusze
♦ Działy
♦ Rozwiązalność
⇒ Strona główna
⇒ Zaloguj mnie
Ciąg liczbowy arytmetyczny
Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
- ciąg arytmetyczny
- wyraz ogólny ciągu arytmetycznego
- różnica ciągu arytmetycznego
| Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11150 ⋅ Poprawnie: 973/1215 [80%] | Rozwiąż |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Oceń, które z podanych ciągów są arytmetyczne:
Odpowiedzi:
| T/N : a_n=\frac{1}{n} | T/N : a_n=n^2 |
| Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11143 ⋅ Poprawnie: 721/946 [76%] | Rozwiąż |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
«« Ciąg (\sqrt{147}, b,\sqrt{243})
jest arytmetyczny.
Oblicz b.
Odpowiedź:
b=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 3. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11144 ⋅ Poprawnie: 1137/1387 [81%] | Rozwiąż |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Ciąg (a_n) jest arytmetyczny i spełnia warunek
3a_3=a_2+2a_1-19.
Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 4. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11456 ⋅ Poprawnie: 1353/1531 [88%] | Rozwiąż |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Pomiędzy liczby 127 i 361
można wstawić pięć takich liczb, że wszystkie siedem liczb będą tworzyć
ciąg arytmetyczny.
Wyznacz najmniejszą z wstawionych liczb.
Odpowiedź:
min=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 5. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11146 ⋅ Poprawnie: 1818/2177 [83%] | Rozwiąż |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« W ciągu arytmetycznym \left(a_n\right)
wyrazy pierwszy i trzeci są równe odpowiednio 12
i 18, a pewien wyraz tego ciągu a_k
jest równy 48.
Wyznacz numer tego wyrazu.
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 6. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11433 ⋅ Poprawnie: 446/513 [86%] | Rozwiąż |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Dla ciągu arytmetycznego (a_n) określonego dla
n\geqslant 1 spełniony jest warunek
a_{9}+a_{10}+a_{11}=\frac{21}{2}.
Oblicz a_{10}.
Odpowiedź:
| a_k= | |
| Zadanie 7. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11148 ⋅ Poprawnie: 662/921 [71%] | Rozwiąż |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
« W ciągu arytmetycznym (a_n) dane są:
a_{4}=-6 i a_{11}=-27.
Wówczas a_1+r jest równe:
Odpowiedź:
a_1+r=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11149 ⋅ Poprawnie: 851/1034 [82%] | Rozwiąż |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny.
Boki tego trójkąta mają długość:
Odpowiedzi:
| A. 52,69,86 | B. 55,72,89 |
| C. 53,70,87 | D. 51,68,85 |
| Zadanie 9. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11541 ⋅ Poprawnie: 498/750 [66%] | Rozwiąż |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Trzy liczby x+8, x+14
i 3x+32,
w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego
\left(c_n\right).
Oblicz c_{64}.
Odpowiedź:
c_k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 10. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11789 ⋅ Poprawnie: 920/1070 [85%] | Rozwiąż |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Trzywyrazowy ciąg (4,7,a-3) jest arytmetyczny.
Liczba a jest równa:
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 11. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11836 ⋅ Poprawnie: 792/867 [91%] | Rozwiąż |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Ciąg arytmetyczny \left(a_n\right) jest określony dla każdej liczby
naturalnej n\geqslant 1. W tym ciągu a_2=5
oraz a_3=9.
6-ty wyraz tego ciągu a_{6} jest równy:
Odpowiedzi:
| A. 21 | B. 17 |
| C. 13 | D. 29 |
| E. 33 | F. 25 |
| Zadanie 12. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11861 ⋅ Poprawnie: 520/520 [100%] | Rozwiąż |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1, a_5=-1 oraz
a_{10}=-26. Różnica tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi:
| A. 1 | B. -11 |
| C. -\frac{7}{2} | D. -6 |
| E. -8 | F. -5 |
| Zadanie 13. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11891 ⋅ Poprawnie: 390/395 [98%] | Rozwiąż |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej
n \geqslant 1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa
-3 oraz a_8=-9.
Czwarty wyraz tego ciągu jest równy:
Odpowiedzi:
| A. -6 | B. 3 |
| C. 6 | D. -3 |
| E. 0 | F. -9 |
| Zadanie 14. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11969 ⋅ Poprawnie: 407/349 [116%] | Rozwiąż |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Pięciowyrazowy ciąg \left(12,\frac{19}{2},x,y,2\right)
jest arytmetyczny.
Liczby x i y są równe:
Odpowiedzi:
| A. x=7 oraz y=\frac{11}{2} | B. x=8 oraz y=\frac{9}{2} |
| C. x=\frac{15}{2} oraz y=5 | D. x=7 oraz y=\frac{9}{2} |
| E. x=\frac{15}{2} oraz y=\frac{11}{2} | F. x=8 oraz y=5 |
| Zadanie 15. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12013 ⋅ Poprawnie: 580/594 [97%] | Rozwiąż |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby
naturalnej n\geqslant 1, dane są wyrazy:
a_1=12 oraz a_3=6.
Wyraz a_{10} jest równy:
Odpowiedzi:
| A. -18 | B. -6 |
| C. 6 | D. -12 |
| E. -15 | F. -9 |
| G. -30 | H. -24 |
| I. 3 | J. -27 |
| Zadanie 16. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12035 ⋅ Poprawnie: 249/259 [96%] | Rozwiąż |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej
n > 1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest
równa -4, a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
8.
Wtedy iloraz \frac{a_4}{a_2} jest równy:
Odpowiedzi:
| A. -\frac{1}{2} | B. -3 |
| C. -1 | D. -\frac{2}{3} |
| E. -2 | F. -\frac{3}{2} |
| Zadanie 17. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12037 ⋅ Poprawnie: 336/309 [108%] | Rozwiąż |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Ciągi (a_n), (b_n),
(c_n) oraz (d_n) są określone dla każdej liczby naturalnej
n > 1 następująco:
a_n=3n-5,
b_n=3n^2-3,
c_n=2^n,
d_n=\frac{2}{n}.
Wskaż zdanie prawdziwe:
Odpowiedzi:
| A. ciąg c_n jest arytmetyczny | B. ciąg d_n jest arytmetyczny |
| C. ciąg b_n jest arytmetyczny | D. ciąg a_n jest arytmetyczny |
| Zadanie 18. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12066 ⋅ Poprawnie: 207/220 [94%] | Rozwiąż |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby
naturalnej n\geqslant 1. Piąty i siódmy wyraz tego ciągu
spełniają warunek a_5+a_7=92.
Wtedy szósty wyraz tego ciągu jest równy:
Odpowiedzi:
| A. 46 | B. 59 |
| C. 55 | D. 49 |
| E. 48 | F. 62 |
| G. 27 | H. 57 |
| Zadanie 19. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12119 ⋅ Poprawnie: 166/189 [87%] | Rozwiąż |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby
naturalnej n\geqslant 1. Różnica tego ciągu jest równa
-6.
Wtedy:
Odpowiedzi:
| A. a_{15}-a_{5}=-66 | B. a_{15}-a_{5}=-78 |
| C. a_{15}-a_{5}=-72 | D. a_{15}-a_{5}=-60 |
| E. a_{15}-a_{5}=-42 | F. a_{15}-a_{5}=-36 |
| G. a_{15}-a_{5}=-48 | H. a_{15}-a_{5}=-84 |
| Zadanie 20. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12145 ⋅ Poprawnie: 321/280 [114%] | Rozwiąż |
Podpunkt 20.1 (0.5 pkt)
Trzywyrazowy ciąg (-2m-2,-7,-10)
jest arytmetyczny.
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
| T/N : ciąg ten jest malejący | T/N : ciąg ten jest rosnący |
Podpunkt 20.2 (0.5 pkt)
Liczba m jest równa:
Odpowiedzi:
| A. \frac{2}{3} | B. -\frac{4}{3} |
| C. 2 | D. \frac{1}{2} |
| E. 1 | F. \frac{3}{4} |
| Zadanie 21. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12373 ⋅ Poprawnie: 189/234 [80%] | Rozwiąż |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Trzywyrazowy ciąg (-4m, -3-2m, m) jest
arytmetyczny, gdy liczba m jest równa:
Odpowiedzi:
| A. -3 | B. -12 |
| C. 8 | D. -6 |
| E. \frac{15}{2} | F. -\frac{18}{5} |
| Zadanie 22. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20503 ⋅ Poprawnie: 560/902 [62%] | Rozwiąż |
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
«« Dany jest ciąg arytmetyczny (19, x-3, y, 7).
Oblicz x.
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 23. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20506 ⋅ Poprawnie: 368/477 [77%] | Rozwiąż |
Podpunkt 23.1 (2 pkt)
W ciągu arytmetycznym (a_n) występują kolejne
liczby naturalne dające resztę 2 przy dzieleniu
przez 5.
Wiedząc, że a_{15}=102, oblicz a_{20}.
Odpowiedź:
a_k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 24. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20507 ⋅ Poprawnie: 519/855 [60%] | Rozwiąż |
Podpunkt 24.1 (2 pkt)
« Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
(a_n) jest równa 225 oraz
a_{30}=225.
Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:
r=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 25. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20816 ⋅ Poprawnie: 927/1937 [47%] | Rozwiąż |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym (a_n) dane są sumy:
a_{5}+a_{8}=69 oraz
a_{3}+a_{14}=17.
Wyznacz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:
r=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Oblicz a_1
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 26. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20509 ⋅ Poprawnie: 496/1055 [47%] | Rozwiąż |
Podpunkt 26.1 (2 pkt)
» Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych,
nie większych od 989.
Odpowiedź:
s_{\leqslant k}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 27. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20510 ⋅ Poprawnie: 99/253 [39%] | Rozwiąż |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
« Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma jego
pięciu pierwszych wyrazów jest równa 55, a drugi
wyraz tego ciągu jest równy 15.
Wzór zapisz w postaci a_n=an+b. Podaj a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 27.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
b=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 28. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20511 ⋅ Poprawnie: 361/960 [37%] | Rozwiąż |
Podpunkt 28.1 (2 pkt)
» Liczby 2x+1, 12x,
14x+35 są w podanej kolejności pierwszym,
drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego.
Oblicz x.
Odpowiedź:
| x= | |
| Zadanie 29. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20512 ⋅ Poprawnie: 13/92 [14%] | Rozwiąż |
Podpunkt 29.1 (2 pkt)
Dla podanej liczby parzystej k wyznacz wartość
wyrażenia:
198^2-(198-1)^2+(198-2)^2-(198-3)^2+(198-4)^2-(198-5)^2+...+102^2-101^2
.
Odpowiedź:
s=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 30. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20513 ⋅ Poprawnie: 99/226 [43%] | Rozwiąż |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Wyraz drugi ciągu arytmetycznego jest o 84 większy
od wyrazu ósmego tego ciągu. Równocześnie wyraz drugi jest
8 razy większy od wyrazu ósmego tego ciągu.
Podaj równicę r tego ciągu.
Odpowiedź:
r=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 30.2 (1 pkt)
Podaj drugi wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
a_2=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 31. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20504 ⋅ Poprawnie: 240/432 [55%] | Rozwiąż |
Podpunkt 31.1 (2 pkt)
» W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym
dla n\geqslant 1, dane są:
wyraz a_1=19 oraz
a_2+a_3=26.
Oblicz różnicę a_{18}-a_{15}.
Odpowiedź:
a_{18}-a_{15}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 32. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20505 ⋅ Poprawnie: 46/113 [40%] | Rozwiąż |
Podpunkt 32.1 (2 pkt)
Na okręgu o promieniu długości r opisano
trójkąt o bokach długości
a\leqslant b\leqslant c, które są kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego.
Oblicz stosunek wysokości opuszczonej na bok długości b, do długości promienia okręgu r.
Odpowiedź:
\frac{h}{r}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 33. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20817 ⋅ Poprawnie: 157/314 [50%] | Rozwiąż |
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
« Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n).
Wyznacz a_1.
Dane
a_{1}+a_{2}=51
a_{7}=42
a_{k}+a_{k+1}=147
a_{7}=42
a_{k}+a_{k+1}=147
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 33.2 (1 pkt)
Oblicz k.
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 34. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20818 ⋅ Poprawnie: 298/610 [48%] | Rozwiąż |
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n).
Wyznacz a_1.
Dane
a_{2}=-27
a_{6}=-15
a_{k}=108
a_{6}=-15
a_{k}=108
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 34.2 (1 pkt)
Oblicz k.
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 35. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20819 ⋅ Poprawnie: 155/213 [72%] | Rozwiąż |
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n).
Wyznacz najmniejsze możliwe a_1 tego ciągu.
Dane
a_{3}+a_{5}=44
a_{3}\cdot a_{5}=475
a_{3}\cdot a_{5}=475
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 35.2 (1 pkt)
Wyznacz największą możliwą różnicę r tego ciągu.
Odpowiedź:
r_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 36. 3 pkt ⋅ Numer: pp-20865 ⋅ Poprawnie: 185/285 [64%] | Rozwiąż |
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
(1 pkt)
W rosnącym ciągu arytmetycznym \left(a_n\right), określonym dla każdej liczby naturalnej dodatniej
n, suma trzech początkowych wyrazów jest równa
42, a iloczyn tych wyrazów jest równy
2520.
Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:
r=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 36.2 (2 pkt)
(2 pkt)
Wyznacz wyraz a_{61} tego ciągu.
Odpowiedź:
a_{k}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 37. 2 pkt ⋅ Numer: pp-21058 ⋅ Poprawnie: 508/802 [63%] | Rozwiąż |
Podpunkt 37.1 (2 pkt)
Ciąg \left(3x^2+41x+138,x^2+12x+36,-x^2-12x-16\right) jest arytmetyczny.
Oblicz x.
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 38. 2 pkt ⋅ Numer: pp-21082 ⋅ Poprawnie: 141/273 [51%] | Rozwiąż |
Podpunkt 38.1 (1 pkt)
Trójwyrazowy ciąg (x+6,y-8,y-4) jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6.
Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wyznacz x.
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 38.2 (1 pkt)
Wyznacz y.
Odpowiedź:
y=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 39. 2 pkt ⋅ Numer: pp-21102 ⋅ Poprawnie: 514/729 [70%] | Rozwiąż |
Podpunkt 39.1 (2 pkt)
Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby
naturalnej n\geqslant 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
-2, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów
tego ciągu jest równa -330.
Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:
r=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 40. 2 pkt ⋅ Numer: pp-21128 ⋅ Poprawnie: 65/147 [44%] | Rozwiąż |
Podpunkt 40.1 (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla wszystkich liczb
naturalnych n\geqslant 1. Suma dwudziestu początkowych wyrazów
tego ciągu jest równa 20\cdot a_{21}-840.
Oblicz różnicę ciągu (a_n).
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 41. 2 pkt ⋅ Numer: pp-21194 ⋅ Poprawnie: 274/579 [47%] | Rozwiąż |
Podpunkt 41.1 (1 pkt)
Wyznacz wartości m, dla których trzywyrazowy ciąg
(2m+27, m^2+16m+67,-3-m) jest arytmetyczny.
Podaj najmniejsze i największe takie m.
Odpowiedzi:
| m_{min} | = | (dwie liczby całkowite) | |
| m_{max} | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 41.2 (1 pkt)
Podaj tę wartość m, dla której ciąg arytmetyczny jest malejący.
Odpowiedź:
| m= | |
| Zadanie 42. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30156 ⋅ Poprawnie: 305/690 [44%] | Rozwiąż |
Podpunkt 42.1 (2 pkt)
Ciąg arytmetyczny (a_n) określony jest wzorem
a_n=a-bn, dla
n\geqslant 1.
Ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg.
Dane
a=2020
b=4
b=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 42.2 (2 pkt)
Wyznacz sumę wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.
Odpowiedź:
s_{> 0}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 43. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30157 ⋅ Poprawnie: 108/189 [57%] | Rozwiąż |
Podpunkt 43.1 (4 pkt)
«« W ciągu arytmetycznym (a_n) mamy:
a_8=m.
Przy jakiej różnicy ciągu suma kwadratów wyrazów a_2 i a_6 jest najmniejsza możliwa?
Dane
m=38
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 44. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30158 ⋅ Poprawnie: 48/123 [39%] | Rozwiąż |
Podpunkt 44.1 (2 pkt)
«« W ciągu arytmetycznym (a_n) dane są wyrazy:
a_1=x+3y, a_2=4x+y,
a_3=3x+6y+1, a_4=9x-2y+1.
Oblicz x i y.
Wyznacz wzór ogólny ciągu i zapisz go w postaci
a_n=an+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 44.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
b=
(wpisz liczbę całkowitą)