Szeregi liczbowe

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n=\frac{7}{\left(\sqrt{5}\right)^n} , dla n=1,2,3,.... Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \frac{c}{\sqrt{d}+e}, gdzie c,d,e\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby c,d i e.

 Oblicz sumę szeregu 27-9+3-....

 « Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu określonego wzorem a_n=2\cdot 5^{-n}.

 « Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony w następujący sposób: \begin{cases} a_1=\frac{2}{5} \\ a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n \text{, dla } n\in\mathbb{N_+} \end{cases} .

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

 « Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 2, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 7.

Oblicz iloraz tego ciągu.

 « Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{5}{6}, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa \frac{15}{4}.

Wyznacz najmniejszy możliwy iloraz tego ciągu.

 Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie \frac{1}{\sqrt{6}}. Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie -\frac{1}{\sqrt{6}}.
Wynika stąd, że liczba x-y jest równa:

 » Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego \left(a_n\right) wynosi \frac{5}{3}, zaś suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych tego ciągu wynosi \frac{10}{21}.

Oblicz a_4.

 » Iloraz ciągu geometrycznego (b_n) wynosi \frac{\sqrt{2}}{2}, a suma jego wszystkich wyrazów jest równa 38+19\sqrt{2}.

Oblicz b_5.

 « Ciąg (c_n) określony jest rekurencyjnie: \begin{cases} c_1=\frac{1}{2} \\ c_{n}=\frac{7\cdot c_{n-1}}{1+2+3+...+13}\text{, dla }n > 1 \end{cases} oraz S_n=c_1+c_2+c_3+...+c_n.

Oblicz \lim_{n\to\infty}S_n.

 Wynacz te wartości x\in\mathbb{R}, dla których ciąg liczbowy \left(1, \frac{3x+1}{2x+3},\left(\frac{3x+1}{2x+3}\right)^2,...\right) jest zbieżny.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Podaj prawy koniec tego przedziału.

 Rozwiąż równanie 1+\frac{1}{1+\frac{1}{6}x}+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{6}x\right)^2}+...=1+\frac{1}{3}x .

Podaj rozwiązanie tego równania.

 « Rozwiąż nierówność 1-\frac{2x+8}{2}+\frac{(2x+8)^2}{4}-...\geqslant 2 .

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału liczbowego. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Podaj prawy koniec tego przedziału.

 Rozwiąż nierówność \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^3+ \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^4+... \lessdot 1+\sqrt{\frac{x}{a}} .

Podaj najmniejszą liczbę spełniającą tę nierówność.

 Podaj najmniejszą liczbę dodatnią, która nie spełnia tej nierówności.

Wyznacz rozwiązania równania \tan 2x+\tan^2 2x+\tan^3 2x+...=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3}+1), gdzie x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right)- \left\{-\frac{\pi}{4}\right\}.

Najmniejsze rozwiązanie tego równania jest równe a\cdot \pi. Podaj liczbę a.

Największe rozwiązanie tego równania jest równe b\cdot \pi. Podaj liczbę b.

 » Dany jest ciąg c_n=\left(-\frac{1}{165-2m}\right)^n, w którym wszystkie wyrazy są dodatnie, a m jest parametrem. Wyznacz te wartości parametru m, dla których szereg c_1+c_2+c_3+... jest zbieżny.

Podaj najmniejsze całkowite m spełniające warunki zadania.

 Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n\geqslant 1, jest równa 5, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 10.

Oblicz iloraz ciągu (a_n).

 Ciąg liczbowy \left(a_n\right) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym malejącym. Suma trzech jego pierwszych wyrazów jest równa 35, a iloczyn tych wyrazów jest równy 1000.

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Wyznacz trzeci wyraz tego ciągu.

 Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

 « Funkcja f określona jest wzorem: f(x)=\frac{3(x-4)}{x-6}+\frac{3(x-4)^2}{(x-6)^2}+\frac{3(x-4)^3}{(x-6)^3}+... .

Przedział liczbowy (-\infty, p) jest dziedziną tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy (p, +\infty) jest zbiorem wartości tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy \langle p, q) jest rozwiązaniem nierówności f(x)\leqslant 0.

Podaj p.

 Podaj q.

 « Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych zbieżnego ciągu geometrycznego jest równa \frac{3}{16}, zaś suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \frac{1}{16}.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

 Podaj iloraz tego ciągu.

 Określamy kwadraty K_1, K_2, K_3,... następująco:

K_1 jest kwadratem o boku długości a,

K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:6

K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:6 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:

K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:6

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Przyjmując, że a=6, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.

 Dany jest nieskończony szereg geometryczny 2(3x-4)-\frac{6(3x-4)}{3x-5}+\frac{18(3x-4)}{(3x-5)^2}-\frac{54(3x-4)}{(3x-5)^3}+....

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od \frac{4}{3} i od \frac{5}{3}), dla których suma tego szeregu istnieje.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x, dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \frac{15}{2}.

Podaj największe takie x.

 Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a_1=2925 i a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}. Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie k=13 początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a_3=b_4.

Oblicz iloraz q ciągu (a_n).

 Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n).

 Wyznacz b_1.

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, którego iloraz q jest 72 razy mniejszy od pierwszego wyrazu ciągu i spełnia warunek |q|\lessdot 1. Stosunek sumy S_{N} wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S_{P} wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \frac{S_{N}}{S_{P}}=S_{N}-S_{P}. Wyznacz iloraz q tego ciągu.

Podaj najmniejszą możliwą wartość q.

 Podaj największą możliwą wartość q.

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości n, dla których spełniona jest nierówność \left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|\lessdot \frac{1}{256}, gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Podaj najmniejszą możliwą wartość n, która spełnia tę nierówność.

 Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=3^{21-n}, gdzie n\geqslant 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.

Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{21-2k}.
Podaj liczbę a.

 Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą liczbą całkowitą dodatnią.

Podaj liczby m i n.