Szeregi liczbowe
Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- szereg liczbowy
- suma szeregu liczbowego
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10141 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n)
określony wzorem
a_n=\frac{2}{\left(\sqrt{5}\right)^n}
, dla n=1,2,3,....
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \frac{c}{\sqrt{d}+e},
gdzie c,d,e\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby c,d i e.
Odpowiedzi:
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| d | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| e | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10142 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Oblicz sumę szeregu 27-9+3-....
Odpowiedź:
| a-b+c-...= | |
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10143 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
« Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu określonego wzorem
a_n=2\cdot 6^{-n}.
Odpowiedź:
| S= | |
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10299 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
« Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony
w następujący sposób:
\begin{cases}
a_1=\frac{2}{5} \\
a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n \text{, dla } n\in\mathbb{N_+}
\end{cases}
.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź:
| S= | |
| Zadanie 8. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20487 |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
» Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego \left(a_n\right) wynosi
3, zaś suma wszystkich wyrazów o numerach
parzystych tego ciągu wynosi \frac{6}{5}.
Oblicz a_4.
Odpowiedź:
| a_4= | |
| Zadanie 9. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20488 |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
» Iloraz ciągu geometrycznego (b_n) wynosi
\frac{\sqrt{2}}{2}, a suma jego wszystkich wyrazów
jest równa 34+17\sqrt{2}.
Oblicz b_5.
Odpowiedź:
| b_5= | |
| Zadanie 10. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20489 |
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
« Ciąg (c_n) określony jest rekurencyjnie:
\begin{cases}
c_1=\frac{1}{2} \\
c_{n}=\frac{9\cdot c_{n-1}}{1+2+3+...+17}\text{, dla }n > 1
\end{cases}
oraz S_n=c_1+c_2+c_3+...+c_n.
Oblicz \lim_{n\to\infty}S_n.
Odpowiedź:
| \lim_{n\to\infty}S_n= | |
| Zadanie 11. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20834 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Wynacz te wartości x\in\mathbb{R}, dla których
ciąg liczbowy
\left(1, \frac{4x+1}{2x+3},\left(\frac{4x+1}{2x+3}\right)^2,...\right)
jest zbieżny.
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.
Odpowiedź:
| x_l= | |
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Podaj prawy koniec tego przedziału.
Odpowiedź:
| x_p= | |
| Zadanie 12. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20835 |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Rozwiąż równanie
1+\frac{1}{1+\frac{1}{6}x}+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{6}x\right)^2}+...=1+\frac{1}{3}x
.
Podaj rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
| x= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 18. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30795 |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Ciąg liczbowy \left(a_n\right) jest nieskończonym
ciągiem geometrycznym malejącym.
Suma trzech jego pierwszych wyrazów jest równa 35, a iloczyn tych wyrazów
jest równy 1000.
Wyznacz iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Wyznacz trzeci wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
| a_3= | |
Podpunkt 18.3 (1 pkt)
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach
nieparzystych.
Odpowiedź:
| S_{np}= | |
| Zadanie 19. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30800 |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
« Funkcja f określona jest wzorem:
f(x)=\frac{3(x-4)}{x-6}+\frac{3(x-4)^2}{(x-6)^2}+\frac{3(x-4)^3}{(x-6)^3}+...
.
Przedział liczbowy (-\infty, p) jest dziedziną tej funkcji. Podaj p.
Odpowiedź:
p=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Przedział liczbowy (p, +\infty) jest zbiorem wartości
tej funkcji. Podaj p.
Odpowiedź:
| p= | |
Podpunkt 19.3 (1 pkt)
Przedział liczbowy \langle p, q) jest rozwiązaniem
nierówności f(x)\leqslant 0.
Podaj p.
Odpowiedź:
p=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 19.4 (1 pkt)
Podaj q.
Odpowiedź:
q=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 20. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30801 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
« Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych zbieżnego ciągu geometrycznego
jest równa \frac{3}{16}, zaś suma wszystkich wyrazów tego ciągu
o numerach parzystych jest równa \frac{1}{16}.
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
| a_1= | |
Podpunkt 20.2 (2 pkt)
Podaj iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
| q= | |
| Zadanie 21. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30880 |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
Określamy kwadraty K_1, K_2,
K_3,... następująco:
K_1 jest kwadratem o boku długości a,
K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:6
K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:6
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:
K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:6
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:
Wyznacz iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
| q= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 21.2 (2 pkt)
Przyjmując, że a=7, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.
Odpowiedź:
| S= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 22. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30883 |
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
2(3x-2)-\frac{6(3x-2)}{3x-3}+\frac{18(3x-2)}{(3x-3)^2}-\frac{54(3x-2)}{(3x-3)^3}+....
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od \frac{2}{3} i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedzi:
| min | = | (dwie liczby całkowite) | |
| max | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 22.2 (2 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x, dla których suma tego szeregu istnieje
i jest równa \frac{15}{2}.
Podaj największe takie x.
Odpowiedź:
| x_{max}= | |
Liczba wyświetlonych zadań: 14
Liczba pozostałych zadań dostępnych dla zarejestrowanych nauczycieli: 12