⇒ Matury CKE
⇒ Rankingi
⇒ Wyniki uczniów
♦ Testy i arkusze
♦ Działy
♦ Rozwiązalność
⇒ Strona główna
⇒ Zaloguj mnie
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- równanie stycznej do krzywej
- współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji różniczkowalnej
| Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10362 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Styczna do wykresu funkcji określonej wzorem
f(x)=x^2-2x-10
w punkcie o współrzędnych
(x_0,y_0) jest równoległa do prostej
o równaniu y=2x+8.
Wyznacz odciętą x_0.
Odpowiedź:
x_0=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pr-11638 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Prosta dana równaniem y=-\frac{1}{5}x+\frac{3}{2} jest prostopadła do stycznej
do wykresu funkcji f(x)=-x^4-2x^3-4x^2-x-1 w punkcie:
Odpowiedzi:
| A. (-4,-189) | B. (-3,-61) |
| C. (2,-51) | D. (-1,-3) |
| E. (-2,-15) | F. (0,-1) |
| Zadanie 3. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20850 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Punkt P=(6,y_P) należy do paraboli o równaniu
y=2x^2+17x+2260. Prosta o równaniu kierunkowym
y=a_1x+b_1 jest styczna do tej paraboli w punkcie
P.
Wyznacz b_1.
Odpowiedź:
b_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 4. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20854 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 4.1 (0.5 pkt)
» Styczna do wykresu funkcji
g(x)=\frac{3}{2}x^2+5 tworzy z osią
Ox kąt o mierze
150^{\circ}. Wyznacz równanie tej stycznej i zapisz
je w postaci y=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 4.2 (1.5 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
| b= | |
| Zadanie 5. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20851 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Styczna do paraboli o równaniu y=\sqrt{3}x^2
+6\sqrt{3}x
+5+9\sqrt{3} w punkcie
P=(x_0,y_0) jest nachylona do osi
Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze
30^{\circ}.
Wyznacz x_0.
Odpowiedź:
| x_0= | |
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Wyznacz y_0.
Odpowiedź:
| y_0= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 6. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20858 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 6.1 (2 pkt)
Dana jest funkcja określona wzorem g(x)=x^4+6. Prosta
y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji
g i jest równoległa do prostej o równaniu
y=4x-2.
Podaj b.
Odpowiedź:
b=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 7. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20855 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
« Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji określonej wzorem
f(x)=2x^5+x-\frac{25}{4}, nachylonej do osi układu
Ox pod kątem \frac{\pi}{4} i
zapisz równanie tej stycznej w postaci y=ax+b.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 8. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20859 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji
określonej wzorem f(x)=(x+1)^2+\frac{1}{4}. Punkt styczności ma współrzędne
A=(2,y_0).
Podaj a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
| b= | |
| Zadanie 9. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20861 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
« Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
f(x)=\frac{5x-3}{x+5}+4 w punkcie
x_0=3 i zapisz je w postaci
y=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
b=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 10. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20852 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
f(x)=\frac{-4x-12}{x^2+6x+13} w punkcie
x_0=-5 i zapisz je w postaci
y=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
b=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 11. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20853 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji określonej wzorem
f(x)=\frac{x^2+6x+11}{x^2+5x+8} w punkcie
x_0=-2 i zapisz je w postaci
y=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
| b= | |
| Zadanie 12. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20856 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
» Dana jest funkcja fokreślona wzorem
f(x)=x^3+7x^2+15x+10
dla każdego x\in\mathbb{R}.
Wyznacz równania tych stycznych do wykresu
funkcji f, które są równoległe do prostej o
równaniu y=4x. Równania stycznych zapisz w postaci
kierunkowej y=ax+b.
Podaj najmniejszą możliwą wartość b.
Odpowiedź:
b_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj największą możliwą wartość b.
Odpowiedź:
| b_{max}= | |
| Zadanie 13. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20857 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
» Dana jest funkcja fokreślona wzorem
f(x)=\frac{x+3}{x^2+8x+11} dla każdego
x\in\mathbb{R}. Wyznacz równanie stycznej
do wykresu funkcji f w punkcie
M=(-3,0).
Równanie to zapisz w postaci kierunkowej y=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
| b= | |
| Zadanie 14. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20860 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
» Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji określonej wzorem
f(x)=2x+\frac{1}{x+2}+\frac{29}{6} w punkcie
x_0=-\frac{3}{2} i zapisz je w postaci
y=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
| b= | |
| Zadanie 15. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20511 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Styczna do wykresu paraboli określonej równaniem f(x)=-x^2+643 w
punkcie P=(4,627) zawiera punkt
(0,m).
Podaj m.
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 16. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20512 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
» Dana jest funkcja
h(x)=\frac{2x^2+8x+11}{(2x+1)^2}. Do wykresy tej
funkcji poprowadzono styczną w punkcie o odciętej
x_0=0. Wyznacz współczynnik kierunkowy
a prostej prostopadłej do tej stycznej.
Podaj a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 17. 4 pkt ⋅ Numer: pr-21041 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 17.1 (4 pkt)
Wyznacz wartość parametru m, dla której prosta
y=-4x jest styczną do wykresu funkcji
f(x)=x^4-3m+4.
Podaj m.
Odpowiedź:
| m= | |
| Zadanie 18. 4 pkt ⋅ Numer: pr-21042 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 18.1 (4 pkt)
Wyznacz wartość parametru m, dla której prosta o równaniu
y=-2 jest styczną do wykresu funkcji
f(x)=x^4-2m-6.
Podaj m.
Odpowiedź:
| m= | |
| Zadanie 19. 3 pkt ⋅ Numer: pr-21155 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=\frac{3x^2-20x+33}{x^2-4x+11}
dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt
P=(x_0, 3) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x_0.
Odpowiedź:
x_0=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 19.2 (2 pkt)
Wyznacz równanie stycznej y=ax+b do wykresu funkcji f w punkcie
P.
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 20. 3 pkt ⋅ Numer: pr-21163 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=2x^3+8x^2+17x+22
dla każdego x\in\mathbb{R}. Punkt
P=(x_0, 22) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x_0.
Odpowiedź:
x_0=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 20.2 (2 pkt)
Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji
f w punkcie x_0.
Wyznacz współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 21. 3 pkt ⋅ Numer: pr-21169 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 21.1 (1.5 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=\frac{x^3-3x+6}{x} dla każdej liczby rzeczywistej
x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej
równej 2, należy do wykresu funkcji f.
Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji
f w punkcie P.
Oblicz współczynnik a.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 21.2 (1.5 pkt)
Oblicz współczynnik b.
Odpowiedź:
| b= | |
| Zadanie 22. 3 pkt ⋅ Numer: pr-21173 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=\frac{4x+13}{2x+2}
dla każdej liczby rzeczywistej x\neq -1.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt
P=(x_0, 5) należy do wykresu funkcji f.
Wyznacz x_0.
Odpowiedź:
| x_0= | |
Podpunkt 22.2 (2 pkt)
Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji
f w punkcie P.
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 23. 3 pkt ⋅ Numer: pr-21184 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=\frac{x^2+8x+11}{x+1}
dla każdej liczby rzeczywistej x\neq -1.
Oblicz pochodną funkcji f i podaj jej wartość w x=-2.
Odpowiedź:
| f'(x)= | |
Podpunkt 23.2 (2 pkt)
Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji
f w punkcie P=(-5,1).
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 24. 2 pkt ⋅ Numer: pr-21193 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 24.1 (2 pkt)
Oblicz współczynnik kierunkowy a stycznej do wykresu funkcji
f(x)=\frac{x^2}{x-3}, określonej dla każdej liczby rzeczywistej
x\neq 3, poprowadzonej w punkcie
A=\left(7,\frac{49}{4}\right) tego wykresu.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 25. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30802 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 25.1 (2 pkt)
Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do obu wykresów funkcji
określonych wzorami f(x)=x^2+5x+7 i
g(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{7}{2}.
Podaj wszystkie możliwe wartości a.
Odpowiedzi:
| a_{min} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| a_{max} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 25.2 (2 pkt)
Podaj odcięte punktów, w których te styczne przecinają oś
Ox.
Odpowiedzi:
| x_{min} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_{max} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 26. 5 pkt ⋅ Numer: pr-30823 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
(1 pkt)
Prosta określona równaniem m:y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}
przecina parabolę o równaniu y=-\frac{1}{4}(x-3)^2-3
w punktach A=(x_a,y_a) i B=(x_b,y_b),
przy czym x_a \lessdot x_b.
Prosta określona równaniem k:y=ax+b jest styczną do tej paraboli w punkcie A.
Prosta określona równaniem k:y=ax+b jest styczną do tej paraboli w punkcie A.
Podaj współczynnik b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.2 (2 pkt)
(2 pkt)
Prosta l jest styczną do tej
paraboli w punkcie B i przecina prostą k
w punkcie C=(x_c, y_c).
Podaj współrzędną x_c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.3 (2 pkt)
(2 pkt)
Przez punkt C poprowadzono prostą zawierającą wysokość
trójkąta ABC, która przecięła prostą
m w punkcie D=(x_d, y_d).
Podaj współrzędną y_d.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 27. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30805 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 27.1 (2 pkt)
Styczna do wykresu funkcji określonej wzorem
f(x)=x^3-24x^2+189x-484
w punkcie P=(x_0,y_0)
jest równoległa do osi Ox.
Podaj najmniejsze możliwe y_0.
Odpowiedź:
y_{0_{min}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 27.2 (2 pkt)
Podaj największe możliwe y_0.
Odpowiedź:
y_{0_{max}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 28. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30807 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 28.1 (2 pkt)
Prosta x+y-\frac{1}{2}=0 jest styczną do wykresu
funkcji
g(x)=\frac{4}{3}x^3+2x^2+\log_{12\sqrt{12}}{(m-5)(m-9)}
.
Wyznacz m.
Podaj najmniejsze możliwe m spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
m_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 28.2 (2 pkt)
Podaj największe możliwe m spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
m_{max}=
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30806 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 29.1 (2 pkt)
» Punkt M nalezy do pierwszej ćwiartki układu
współrzednych i do hiperboli o równaniu
f(x)=\frac{1}{x}. Styczna do tej hiperboli w punkcie
M przecina osie układu Oy
i Ox w punktach odpowiednio
A i B.
Oblicz \frac{|AM|}{|MB|}.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.2 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni trójkąta AOB.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30257 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 30.1 (2 pkt)
» Punkt M należy do pierwszej ćwiartki układu
współrzednych i do hiperboli o równaniu
f(x)=\frac{1}{x}. Styczna do tej hiperboli w punkcie
M przecina osie układu Oy
i Ox w punktach odpowiednio
A i B.
Oblicz \frac{|AM|}{|MB|}.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 30.2 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni trójkąta AOB.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. 6 pkt ⋅ Numer: pr-31023 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 31.1 (2 pkt)
Prosta k o równaniu x+y-\frac{99}{8}=0 przecina parabolę
o równaniu y=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{45}{8} w punktach A=(x_A,y_A)
oraz B=(x_B,y_B), przy czym x_A> x_B.
Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna
do danej paraboli w punkcie C=(x_C,y_C).
Wyznacz rzędne punktów A i B.
Odpowiedzi:
| y_A | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y_B | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 31.2 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C.
Odpowiedzi:
| x_C | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 31.3 (1 pkt)
Oblicz odległość punktu C od prostej k.
Odpowiedź:
| Wpisz odpowiedź: | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 31.4 (1 pkt)
Oblicz pole powierzchni trójkąta ABC.
Odpowiedź:
| P_{\triangle ABC}= | |
| Zadanie 32. 4 pkt ⋅ Numer: pr-31053 ⋅ Poprawnie: 0/0 | Rozwiąż |
Podpunkt 32.1 (2 pkt)
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\frac{x^3+k}{x}
dla każdej liczby rzeczywistej x\neq 0.
Oblicz wartość k, dla której prosta o równaniu y=-x+1
jest styczna do wykresu funkcji f.
Podaj najmniejsze takie k.
Odpowiedź:
| k_{min}= | |
Podpunkt 32.2 (2 pkt)
Podaj największe takie k.
Odpowiedź:
| k_{max}= | |