Zadania optymalizacyjne

 « Na okręgu opisano trapez równoramienny o podstawach a i b (a > b) i wysokości h, w którym a+h=k. Wyznacz przedział, do którego może należeć dłuższa podstawa a.

Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Podaj prawy koniec tego przedziału.

 Obwód tego trapezu w zależności od długości dłuższej podstawy a wyraża się wzorem O=\frac{W(a)}{a}, gdzie W(a) jest wielomianem.

Podaj największy współczynnik tego wielomianu.

 Podaj długość dłuższej podstawy a tego z trapezów, który ma najmniejszy obwód.

 Oblicz tangens kąta ostrego tego z trapezów, który ma najmniejszy obwód.

Liczby x i y spełniają warunek y=x+1, a wyrażenie \frac{y^2-2x+1}{x^2+2y} jest największe możliwe.

Jaką wartość ma to wyrażenie?

Dla jakiej wartości x wartość wyrażenia jest maksymalna?

Jeden z boków kwadratu o wierzchołkach A i B zawiera się w prostej y=\frac{1}{2}x, a wierzchołek C należy do wykresu funkcji y=-\frac{8}{x}.

Wiedząc, że kwadrat ten ma najmniejsze możliwe pole powierzchni, oblicz długość jego przekątnej.

Wyznacz tę wartośc parametru p, dla której suma sześcianów różnych pierwiastków równania x^2+px+p^2-1=0 osiąga największą wartość.

Podaj p.

Ile wynosi ta największa suma sześcianów?

Przyprostokątna trójkąta ma długość 2. Stosunek pola powierzchni koła opisanego na tym trójkącie do pola powierzchni tego trójkąta jest najmniejszy możliwy.

Oblicz obwód tego trójkąta.

W półkole wpisano prostokąt o największym możliwym polu powierzchni.

Oblicz cosinus kąta rozwartego jaki tworzą przekątne tego prostokąta.

» Punkt K=(1,9) należy do prostej, która jest wykresem funkcji malejącej. Prosta ta odcina na osiach układu dwa odcinki, których suma długości jest najmniejsza możliwa. Wyznacz równanie tej prostej w postaci y=ax+b.

Podaj a.

Podaj b.

» Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), w którym a_8=3 i a_{20}=27. Wyznacz największe możliwe n, dla którego S_n ma wartość najmniejszą.

Podaj n.

Ile istnieje takich wartości n?

Trapez równoramienny ma przekątną długości 5\sqrt{6} i największe możliwe pole powierzchni.

Ile wynosi suma jego podstaw?

Ile wynosi to największe możliwe pole?

« Koszt produkcji n niepodzielnych sztuk towaru wynosi 2n^2+33n+120. Ile należy wyprodukować sztuk tego towaru, aby koszt produkcji jednej sztuki był możliwie jak najmniejszy?

» Największy z okręgów na rysunku ma promień długości 36, a punkty O, O_1 i O_2 nie leżą na jednej prostej:

Wyraź pole powierzchni zielonego trójkąta jako funkcję promienia r (wykorzystaj wzór P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}).

Wyznacz długość promienia r, przy której pole zielonego trójkąta jest największe.

Ile jest równe to największe pole?

 (2 pkt) Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{1}{2}x^2+120, dla x\in\mathbb{R}. Punkt A ma współrzędne A=(a, y) i należy do wykresu funkcji f, natomiast punkt B ma współrzędne B=(246, 0).
Funkcja h określona wzorem y=h(a), każdej liczbie rzeczywistej a przypisuje długość odcinka AB. Wzór tej funkcji ma postać h(a)=\sqrt{W(a)}, gdzie W(a) jest pewnym wielomianem. Wyznacz ten wielomian.

Podaj W(0).

 (1 pkt) Wyznacz wzór funkcjiy=W'(a).

Podaj W'(1).

 (1 pkt) Rozwiąż równanie W'(a)=0.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

 (1 pkt) Wielomian W'(a) przy dzieleniu przez dwumian (a-a_0), gdzie a_0 jest najmniejszym rozwiązaniem równania W'(a)=0, daje iloraz równy (a^2+ma+n).

Podaj współczynnik m.

 (1 pkt) Podaj rzędną tego punktu A należącego do paraboli, który jest najbliżej położony punktu B.