Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- równania trygonometryczne zawierające kwadraty sin^2x lub cos^2x
- rozwiązywanie równań trygonometrycznych
| Zadanie 1. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20286 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
» Liczba x należy do przedziału
(0,\pi) i ciąg
(\cos 2x, \cos^22x,\cos 2\pi) jest ciągiem
arytmetycznym.
Podaj najmniejsze możliwe x.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 2. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20287 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje: f(x)=3\cos^2 x-\frac{3}{2}
oraz g(x)=\frac{3}{2}\sin x. Wyznacz zbiór tych
argumentów z przedziału (0,2\pi),
dla których f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21095 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje: f(x)=3\cos^2 2x-\frac{3}{2}
oraz g(x)=\frac{3}{2}\sin 2x. Wyznacz zbiór tych
argumentów z przedziału (0,\pi),
dla których f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 3.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21096 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje: f(x)=3\cos^2 4x-\frac{3}{2}
oraz g(x)=\frac{3}{2}\sin 4x. Wyznacz zbiór tych
argumentów z przedziału \left(0,\frac{\pi}{2}\right),
dla których f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 4.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20288 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Dane są funkcje:
f(x)=\sin x\left(2\sin^2x-\frac{1}{2}\right) oraz
g(x)=\frac{1}{2}\cos^2x-\frac{3}{2}\sin^2x.
Wyznacz zbiór tych wartości argumentów z przedziału
(-\pi,0), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21092 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Dane są funkcje:
f(x)=\sin 2x\left(2\sin^2{2x}-\frac{1}{2}\right) oraz
g(x)=\frac{1}{2}\cos^2{2x}-\frac{3}{2}\sin^2{2x}.
Wyznacz zbiór tych wartości argumentów z przedziału
\left(-\frac{\pi}{2},0\right), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21093 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Dane są funkcje:
f(x)=\sin \frac{x}{2}\left(2\sin^2\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right) oraz
g(x)=\frac{1}{2}\cos^2\frac{x}{2}-\frac{3}{2}\sin^2\frac{x}{2}.
Wyznacz zbiór tych wartości argumentów z przedziału
(-2\pi,0), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21094 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Dane są funkcje:
f(x)=\cos x\left(2\cos^2x-\frac{1}{2}\right) oraz
g(x)=\frac{1}{2}\sin^2x-\frac{3}{2}\cos^2x.
Wyznacz zbiór tych wartości argumentów z przedziału
(0,\pi), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20290 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\sin^2 2x-3\sin^2 x+\cos^2 x=0, gdzie
x\in(0,2\pi).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21090 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\sin^2 4x-3\sin^2 2x+\cos^2 2x=0, gdzie
x\in(0,\pi).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21091 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\sin^2 x-3\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}=0, gdzie
x\in(0,4\pi).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20292 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje f(x)=2\cos^2x-1 oraz
g(x)=2\cos^2 x\sin x-\sin x.
Wyznacz te wartości x\in (0,2\pi), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21088 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje f(x)=2\cos^2{2x}-1 oraz
g(x)=2\cos^2{2x}\sin{2x}-\sin{2x}.
Wyznacz te wartości x\in (0,\pi), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21089 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
« Dane są funkcje f(x)=2\cos^2\frac{x}{2}-1 oraz
g(x)=2\cos^2 \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}.
Wyznacz te wartości x\in (0,4\pi), dla których
f(x)=g(x).
Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe x spełniające warunki
zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30198 |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
» Rozwiąż równanie 2\cos^2x-9\sin x+3=0 w
przedziale \langle 0,2\pi\rangle.
Podaj najmniejsze z rozwiązań.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 15.2 (2 pkt)
Podaj największe z rozwiązań.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30199 |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
Wyznacz największą liczbę ujemną spełniającą równanie
\cos x-\sin x\cdot \tan x=1.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.2 (2 pkt)
Podaj najmniejsze z rozwiązań dodatnich.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30824 |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
(2 pkt)
Rozwiąż równanie
\sin{5x}+\sin{x}=\cos^2{x}-\sin^2{x} w przedziale
\left(0,\frac{5}{18}\pi\right).
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 17.2 (2 pkt)
(2 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30205 |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
» W równaniu \sin x(\sin^2 x-m^2)=0 liczba
m jest parametrem, zaś
x\in\langle -\pi,\pi\rangle.
Dla m=\frac{\sqrt{2}}{2} wyznacz rozwiązania tego
równania.
Ile rozwiązań ma to równanie?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Podaj sumę rozwiązań dodatnich tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.3 (2 pkt)
Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie
to ma dokładnie trzy rozwiązania.
Podaj sumę kwadratów wszystkich liczb całkowitych, które nie spełniają warunku zadania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30195 |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
» Dla jakich wartości parametru \alpha suma
kwadratów różnych pierwiastków równania
x^2-10x\sin\alpha-6\cos^2\alpha=0 jest równa
56?
Podaj najmniejsze dodatnie \alpha spełniające warunki zadania (w radianach).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.2 (2 pkt)
Podaj największe rozwiązanie z przedziału (0,\pi).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30196 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
Dla jakich wartości parametru
\alpha\in\langle 0,2\pi\rangle pierwiastki równania
x^2-8x\cos\alpha-10\sin^2\alpha=0 spełniają
warunek x_1^2+x_2^2=42?
Podaj najmniejsze \alpha spełniające warunki zadania. Wynik zapisz w radianach.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 20.2 (2 pkt)
Podaj największe \alpha spełniające
warunki zadania. Wynik zapisz w radianach.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 20.3 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego zadania (w radianach).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)