Podgląd arkusza : lo2@cke-2020-06-pr

 Wielomian W określony wzorem W(x)=x^{2031}+4x^{2030}+x-6}:

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=\frac{4n^2+n+4}{4+5n+5n^2} dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Granica g tego ciągu jest równa:

 Mamy dwie urny. W pierwszej jest b_1=3 kul białych i c_1=5 kul czarnych, w drugiej jest b_2=2 kul białych i c_2=6 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny.

Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:

 Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego (\sqrt{7}x+\sqrt{5}y)^4 do postaci ax^4+bx^3+cx^3+dx+e współczynnik c jest równy:

 W trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC, a długość boku BC stanowi \frac{5}{2} długości boku AC.

Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie |x-19|=(m-1)^2-81 ma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozwiązaniem jest suma przedziałów (a, b)\cup (c,d), gdzie a\lessdot c.Podaj liczby a i b.

 Podaj liczby c i d.

 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|AB|=24, a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC|=|LC|=2 (zobacz rysunek).

Oblicz |KL|.

 Oblicz \frac{|AM|}{|MC|}.

 Liczby dodatnie a i b spełniają równość 9a^2+6a=36b^2+12b.

Wiadomo, a=k\cdot b, gdzie k\in\mathbb{Q}.
Wyznacz liczbę k.

 Rozwiąż równanie 3\cos{2x}+10\cos^2{x}+24\sin{x}+3=0 dla x\in(0,2\pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot\pi. Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot\pi. Podaj liczbę a.

 W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a_1, a_2, a_3), spełniona jest równość a_1+a_2+a_3=\frac{273}{16}. Wyrazy a_1, a_2, a_3 są – odpowiednio –szóstym , drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego.

Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

 Oblicz a_1.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-(3m+23)x+2m^2+35m+132=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Podaj największą i największą wartość parametru m, dla których powyższy warunek jest spełniony.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2, gdzie x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.

Zapisz wzór funkcji f w postaci f(m)=am^2+bm+c. Podaj współczynniki a, b i c.

 Rozwiąż równanie f(m)=2.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj w kolejności rosnącej dwa wymierne końce tych przedziałów, które są liczbami wymiernymi niecałkowitymi.

 Prosta o równaniu x+y-13=0 przecina okrąg o równaniu x^2+y^2-4x-16y+51=0 w punktach K i L.

Wyznacz współrzędne środka S=(x_S, y_S) tego okręgu.

 Podaj współrzędne tego z punktów K i L, który ma mniejszą odciętą.

 Wyznacz środek P=(x_P, y_P) odcinka KL.

 Wyznacz współrzędne takiego punktu S', który spełnia równanie wektorowe \overrightarrow{PS'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{PS}.

 Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB\parallel CD). Ramiona tego trapezu mają długość |AD|=14 i |BC|=10, a miara kąta ABC jest równa 60^{\circ}. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \alpha taki, że \tan\alpha=\frac{9}{2}.

Oblicz wysokość h trapezu ABCD.

 Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.

 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.

 Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0.4 cm każda, a odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0.5 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 20 cm², a dłuższe boki ekranu i całego smartfona są równoległe.
Oznaczmy przez x długość dłuższego boku ekranu smartfona (bez brzegu) wyrażoną w milimetrach. Wówczas pole powierzchni całego smartfona z brzegiem można obliczyć ze wzoru P(x)=ax+\frac{b}{x}+c, gdzie a,b,c\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby a, b i c.

 Wyznacz dziedzinę funkcji P.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Wyznacz pochodną funkcji P i zapisz jej wzór w postaci P'(x)=a-\frac{b}{x}.

Podaj liczby a i b.

 Wyznacz wymiary x i y w milimetrach ekranu tego smartfona, którego pole powierzchni ekranu jest maksymalne.