Podgląd testu : lo2@cke-2020-06-pr
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-11652 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Wielomian W określony wzorem
W(x)=x^{2025}+x^{2024}-x-1}:
Odpowiedzi:
| A. jest podzielny przez x+1 i przy dzieleniu przez x-1 daje resztę 0 | B. jest podzielny przez x-1 i przy dzieleniu przez x-1 daje resztę -2 |
| C. jest podzielny przez x+1 i przy dzieleniu przez x-1 daje resztę -1 | D. jest podzielny przez x-1 i przy dzieleniu przez x-1 daje resztę -1 |
| E. jest podzielny przez x+1 i przy dzieleniu przez x-1 daje resztę -2 | F. jest podzielny przez x+1 i przy dzieleniu przez x-1 daje resztę 1 |
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-11653 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem
a_n=\frac{2n^2-2n-2}{1+n-5n^2} dla
każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.
Granica g tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi:
| A. \frac{4}{15} | B. -\frac{2}{5} |
| C. -\frac{8}{15} | D. \frac{4}{5} |
| E. \frac{2}{15} | F. -\frac{4}{15} |
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-11654 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Mamy dwie urny. W pierwszej jest b_1=3 kul białych i
c_1=4 kul czarnych, w drugiej jest b_2=2
kul białych i c_2=6 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką
do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku
rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku
– losujemy jedną kulę z drugiej urny.
Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:
Odpowiedzi:
| A. \frac{47}{140} | B. \frac{47}{112} |
| C. \frac{47}{224} | D. \frac{47}{168} |
| E. \frac{235}{1008} | F. \frac{235}{672} |
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-11656 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego (\sqrt{5}x+\sqrt{4}y)^4
do postaci ax^4+bx^3+cx^3+dx+e współczynnik c jest równy:
Odpowiedzi:
| A. 80 | B. 120 |
| C. 8\sqrt{5} | D. 100 |
| E. 12\sqrt{5} | F. 160 |
| Zadanie 5. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21196 |
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
W trójkącie ABC bok AB jest
2 razy dłuższy od boku AC, a długość boku
BC stanowi \frac{8}{5} długości boku
AC.
Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC.
Odpowiedź:
| \cos\alpha= | |
| Zadanie 6. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21197 |
Podpunkt 6.1 (1.5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
|x-27|=(m-1)^2-9 ma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie.
Rozwiązaniem jest suma przedziałów (a, b)\cup (c,d), gdzie a\lessdot c.Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 6.2 (1.5 pkt)
Podaj liczby
c i d.
Odpowiedzi:
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| d | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 7. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21198 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym
|AC|=|AB|=30, a punkt D jest środkiem podstawy
AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej
AC w punkcie M. Punkt K
leży na boku AC, punkt L leży na boku
BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu
oraz |KC|=|LC|=3 (zobacz rysunek).
Oblicz |KL|.
Odpowiedź:
| |KL|= | |
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Oblicz \frac{|AM|}{|MC|}.
Odpowiedź:
| |AM|:|MC|= | |
| Zadanie 8. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21199 |
Podpunkt 8.1 (3 pkt)
Liczby dodatnie a i b spełniają równość
4a^2+4a=16b^2+8b.
Wiadomo, a=k\cdot b, gdzie k\in\mathbb{Q}.
Wyznacz liczbę k.
Odpowiedź:
| k= | |
| Zadanie 9. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31062 |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Rozwiąż równanie 3\cos{2x}+10\cos^2{x}+24\sin{x}+3=0
dla x\in(0,2\pi).
Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot\pi. Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 9.2 (2 pkt)
Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot\pi.
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 10. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31063 |
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a_1, a_2, a_3), spełniona jest równość
a_1+a_2+a_3=\frac{130}{9}. Wyrazy a_1,
a_2, a_3 są – odpowiednio –piątym
, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego.
Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 10.2 (3 pkt)
Oblicz a_1.
Odpowiedź:
| a_1= | |
| Zadanie 11. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31064 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x^2-(3m+8)x+2m^2+15m+7=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Podaj największą i największą wartość parametru m, dla których powyższy warunek jest spełniony.
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2, gdzie x_1 i
x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Zapisz wzór funkcji f w postaci f(m)=am^2+bm+c. Podaj współczynniki a, b i c.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 11.3 (2 pkt)
Rozwiąż równanie f(m)=2.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj w kolejności rosnącej dwa wymierne końce tych przedziałów, które są liczbami wymiernymi niecałkowitymi.
Odpowiedzi:
| min_{\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}} | = | (dwie liczby całkowite) | |
| max_{\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}} | = | (dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 12. (6 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31065 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Prosta o równaniu x+y-15=0 przecina okrąg o równaniu
x^2+y^2-14x-10y+57=0 w punktach K i
L.
Wyznacz współrzędne środka S=(x_S, y_S) tego okręgu.
Odpowiedzi:
| x_S | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_S | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj współrzędne tego z punktów K i L, który ma mniejszą
odciętą.
Odpowiedzi:
| x | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 12.3 (2 pkt)
Wyznacz środek P=(x_P, y_P) odcinka KL.
Odpowiedzi:
| x_P | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y_P | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 12.4 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne takiego punktu S', który spełnia równanie wektorowe
\overrightarrow{PS'}=-\frac{3}{8}\overrightarrow{PS}.
Odpowiedzi:
| x_{S'} | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y_{S'} | = | (dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 13. (6 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31067 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD
(AB\parallel CD). Ramiona tego trapezu mają długość
|AD|=10 i |BC|=8, a miara kąta
ABC jest równa 45^{\circ}. Każda ściana
boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \alpha taki, że
\tan\alpha=\frac{5}{2}.
Oblicz wysokość h trapezu ABCD.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.2 (2 pkt)
Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| H= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.3 (3 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V_{ABCDS}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 14. (7 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31068 |
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od
dłuższych brzegów smartfona były równe 0.1 cm każda, a odległości tego
ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0.8 cm każda
(zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię
50 cm2, a dłuższe boki ekranu i całego smartfona są równoległe.
Oznaczmy przez x długość dłuższego boku ekranu smartfona (bez brzegu) wyrażoną w milimetrach. Wówczas pole powierzchni całego smartfona z brzegiem można obliczyć ze wzoru P(x)=ax+\frac{b}{x}+c, gdzie a,b,c\in\mathbb{Z}.
Oznaczmy przez x długość dłuższego boku ekranu smartfona (bez brzegu) wyrażoną w milimetrach. Wówczas pole powierzchni całego smartfona z brzegiem można obliczyć ze wzoru P(x)=ax+\frac{b}{x}+c, gdzie a,b,c\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b i c.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Wyznacz dziedzinę funkcji P.
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
+
\cdot
√
(wpisz trzy liczby całkowite)
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 14.3 (2 pkt)
Wyznacz pochodną funkcji P i zapisz jej wzór w postaci
P'(x)=a-\frac{b}{x}.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 14.4 (2 pkt)
Wyznacz wymiary x i y w milimetrach ekranu tego smartfona,
którego pole powierzchni ekranu jest maksymalne.
Odpowiedzi:
| x\ [mm] | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y\ [mm] | = | (dwie liczby całkowite) | |