Podgląd arkusza : lo2@cke-2020-07-pr

 Wielomian W określony wzorem W(x)=x^3-2x^2+x-12 jest podzielny bez reszty przez dwumian:

 Granica \lim_{x\to+\infty}{\left(\frac{x^3+27}{x^2-9}-x\right)} jest równa:

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=\frac{3x-6}{x^2+1} dla wszystkich liczb rzeczywistych x.

Pochodna f' tej funkcji jest określona wzorem:

 Wyrażenie \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1} jest równe:

 Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n\geqslant 1, jest równa 3, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.

Oblicz iloraz ciągu (a_n).

 Pierwszy wyraz ciągu (a_n), określonego dla n\geqslant 1, jest równy 3. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_n=2a_{n+1}+4n^2+1.

Oblicz a_3.

 Oblicz sumę a_1+a_2+a_3.

 Rozwiąż równanie 4\sin^3{x}-\sin{2x}=2\sin^2{x}\cdot (2\cos{x}-1) w przedziale (0,2\pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Dla pewnych liczb rzeczywistych a > 1, b > 1 i N > 1 jest spełniona równość \log_{a^3b}{N}=\frac{3}{40}\cdot \left(\log_{a}{N}+\log_{b}{N}\right). Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia \log_{a}{b}.

Podaj najmniejszą z tych wartości.

 Podaj największą z tych wartości.

 Dana jest nierówność (m^2-10m+16)x^2+2x > 2(m-7)x-2 o niewiadomej x.

Podaj tę wartość parametru m, dla której nierówność jest liniowa i prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.

 Wyznacz tę wartość parametru m, dla której tylko jedna liczba rzeczywista nie spełnia tej nierówności.

Podaj wartość parametru m oraz liczbę x, która nie spełnia nierówności.

 Wyznacz te wartości parametru m, dla których rozwiązaniem nierówności jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj końce liczbowe tych przedziałów w kolejności rosnącej.

 Punkt A=(-5,-2) jest wierzchołkiem rombu ABCD (odwrotnie do ruchu wskazówek zegara) o polu powierzchni równym 82,5. Przekątna BD tego rombu zawiera się w prostej l o równaniu 2x-y+23=0.

Wyznacz współrzędne środka symetrii S tego rombu.

 Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego rombu.

 Oblicz długość przekątnej BD tego rombu.

 Wyznacz współrzędne wierzchołka B tego rombu.

 Oblicz, ile jest liczb naturalnych k=12 cyfrowych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 175.

 Dany jest romb ABCD. Przez wierzchołki B i D poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki CD i AB – odpowiednio – w punktach M i N, tak, że podzieliły one boki rombu w stosunku |AN|:|NB|=|CM|:|MD|=7:5. Ponadto wiadomo, że |MB|=|ND|=|BD| (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek pól powierzchni trójkąta AND do czworokata NBMD.

 Oblicz cosinus kąta BCD.

 Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma długości krawędzi podstawy i długości krawędzi bocznej jest równa 6. Wyraź objętość tego ostrosłupa za pomocą długości krawędzi podstawy x i zapisz ten wzór w postaci V(x)=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest pewnym wielomianem.

Podaj wartość tego wielomianu w x=1 i x=2.

 Oblicz pochodną wielomianu W(x).

Podaj wartość tej pochodnej w x=1.

 Wyznacz długośc krawędzi podstawy tego z ostrosłupów, który ma największą objętość.