Podgląd arkusza : lo2@cke-2021-03-pr

 Liczba \log_{4}{10} jest równa:

 Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest 10 kul: b_1=6 białych i c_1=4 czarnych, w drugiej jest 8 kul: b_2=3 białych i c_2=5 czarnych. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna.
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe:

 Prosta dana równaniem y=x+\frac{3}{2} jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji f(x)=-x^4-3x^3-x^2+2x+3 w punkcie:

 Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie \frac{1}{\sqrt{6}}. Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie -\frac{1}{\sqrt{6}}.
Wynika stąd, że liczba x+y jest równa:

 Oblicz, ile jest liczb dziewięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 12 i żadna cyfra nie jest zerem.

 Rozwiąż równanie \sin\left(x+\frac{2}{5}\pi\right)\cdot\cos\left(x+\frac{2}{5}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{4} w przedziale (0,2\pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadrat ABDE (zobacz rysunek). Jeden z kątów ostrych \alpha tego trójkąta spełnia warunek \sin{2\alpha}=\frac{3}{8}.

Oblicz stosunek pola kwadratu AEDB do pola trójkąta ABC.

 Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu R=20\sqrt{2}. Przekątna BD tego czworokąta ma długość 20\sqrt{2}. Kąty wewnętrzne BAD i ADC czworokąta ABCD są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy \frac{3}{16}.

Podaj miarę stopniową kąta BCD.

 Podaj miarę stopniową kąta CDA.

 Reszty z dzielenia wielomianu W(x)=x^4+bx^3+cx^2 przez dwumiany x+2 i x-3 są odpowiednio równe -4 oraz 126.

Wyznacz wartości współczynników b i c.

 Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-4

 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 6, a wysokość graniastosłupa jest równa 16 (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni trójkąta ABF.

 Oblicz sinus kąta BFA.

 Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest arytmetyczny i rosnący. Różnica pomiędzy pierwszym a czwartym wyrazem tego ciągu jest równa 18. Ponadto ciąg (a+2,b,c) jest geometryczny.

Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego.

 Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

 Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y=x+b, y=x+3b, y=b, y=2, gdzie liczba rzeczywista b spełnia warunki: b\neq 2 i b\neq 0. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których pole tego równoległoboku jest równe 96.

Podaj najmniejszą możliwą wartość b.

 Podaj największą możliwą wartość b.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-(2m-6)x+m^3-9m^2+25m-21=0 ma dwa różne rozwiązania.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Wyznacz wszystkie te wartości parametru m, dla których dwa różne rozwiązania tego równania są dodatnie.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f określonej wzorem f(x)=\frac{64}{x^4} dla x\neq 0. Punkt C ma współrzędne (0,-12), a punkty A i B są położone symetrycznie względem osi Oy (zobacz rysunek).

Niech punkt A ma współrzędne A=(x, y), gdzie x > 0. Wówczas pole powierzchni trójkąta ABC opisuje wzór P(x)=\frac{ax^4+b}{x^3}.
Podaj liczby a i b.

 Oblicz pochodną funkcji P.

Podaj wartość pochodnej P' w x=1.

 Wyznacz maksymalne pole powierzchni trójkąta ABC.