Podgląd arkusza : lo2@cke-2022-12-pr

 Oblicz \frac{\log_{4}{2}\cdot\log_{4}{64}}{\log_{6}{\sqrt[4]{36}}}.

 Funkcja g jest określona wzorem g(x)=\left|-\frac{1}{2}x^2+7x-20\right| dla każdego x\in\mathbb{R}. Fragment wykresu funkcji g w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja g przyjmuje w przedziale \left[9,11\right].

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału [a,b]. Podaj końce tego przedziału.

 Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m, dla których równanie g(x)=|m| ma dokładnie dwa rozwiązania, oba dodatnie.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy ujemny i najmniejszy dodatni koniec tych przedziałów.

 Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe 0.2. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo 16 torebek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych 16 losowo wybranych torebek znajdą się dokładnie dwie torebki z niedowagą.

 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych 16 losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.

 Rozwiąż równanie 6\sin{x}+2\sqrt{3}\cos{x}+3\sqrt{2}\tan{x}+\sqrt{6}=0 w przedziale (0,2\pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów. Przy poziomie produkcji 480+x litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy K(x)=\frac{22x^2-13381.5x+2053865.0}{190+x}, gdzie x\in[0,+\infty].

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji).

 Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

 Rozwiąż nierówność \frac{6x-9}{4x^2-36}+\frac{3}{2x-6}\geqslant \frac{9}{6+2x}+2.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj dwa ujemne końce tych przedziałów w kolejności rosnącej.

 Podaj dwa dodatnie końce tych przedziałów w kolejności rosnącej.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-(m+4)x+m^2+9m+20=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=x_1^3+x_2^3-5x_1^2\cdot x_2-5x_1\cdot x_2^2, gdzie x_1, x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

Podaj najmniejsze i największe miejsce zerowe tej funkcji (należące do dziedziny).

 Rozwiąż nierówność f(m) \lessdot 0, gdzie m\in D_f.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców całkowitych tych przedziałów.

 Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.

 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Krawędź podstawy a tego ostrosłupa ma długość 50. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \alpha takim, że \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}. Przez krawędź BC podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę \pi prostopadłą do ściany bocznej SAD (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

 Oblicz długość odcinka RS.

 Oblicz wysokość h przekroju.

 Oblicz długość odcinka EF.

 Oblicz pole powierzchni przekroju.

 Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB|>|CD| oraz ramię BC ma długość 2. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu R=\frac{17}{8}. Miary kątów BAC i ABC tego trapezu spełniają warunek \frac{\sin\sphericalangle BAC}{\sin\sphericalangle ABC}=\frac{10}{17}. Oblicz \sin\alpha.

 Oblicz wysokość trapezu h.

 Oblicz długość przekątnej AC.

 Oblicz długość podstawy AB.

 Oblicz pole trapezu ABCD.

 Prosta k o równaniu x+y-\frac{203}{8}=0 przecina parabolę o równaniu y=\frac{1}{4}x^2-\frac{11}{2}x+\frac{293}{8} w punktach A=(x_A,y_A) oraz B=(x_B,y_B), przy czym x_A> x_B. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C=(x_C,y_C).

Wyznacz rzędne punktów A i B.

 Wyznacz współrzędne punktu C.

 Oblicz odległość punktu C od prostej k.

 Oblicz pole powierzchni trójkąta ABC.