Podgląd arkusza : lo2@cke-2023-12-pp

 Liczba \left(3^{-2.3}\cdot 3^{\frac{3}{10}}}\right)^{\frac{1}{2}} jest równa:

 Liczba \log_{3}{162}-\log_{3}{2} jest równa:

 Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 10\% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 4356.00 zł (bez uwzględnienia podatków).

Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa:

 Przedział liczbowy (-8, -2) jest rozwiązaniem nierówności:

 Dany jest układ równań \begin{cases} x-3y+1=0\\ 2x+y+16=0 \end{cases}.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 5 i 3 wartość wyrażenia \frac{x-5}{x^2-6x+9}\cdot \frac{x^2-3x}{4x-20} jest równa wartości wyrażenia:

 Dany jest wielomian W(x)=-3x^3-2x^2+kx-3 gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W(x)=(x+1)\cdot Q(x), dla pewnego wielomianu Q.

Liczba k jest równa:

 Rozwiąż równanie 4x^3-6x^2=12x-18.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania, które jest liczbą niewymierną.

 Podaj największe rozwiązanie tego równania, które jest liczbą niewymierną.

 Podaj rozwiązanie wymierne tego równania.

 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-\frac{1}{16}x+\frac{1}{8}.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. Zbiorem wartości funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-1) jest przedział:

 Zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań nierówności g(x)\lessdot 0. Podaj lewy i prawy koniec tego przedziału.

 Oceń, które z podanych wzorów poprawnie opisują funkcję f pokazaną na rysunku.

 Funkcja kwadratowa h jest określona za pomocą funkcji f następująco: h(x)=f(x+1). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji y=h(x).

Fragment wykresu funkcji y=h(x) przedstawiono na rysunku:

 Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 14^{\circ} opisuje funkcja wykładnicza T(x)=78\cdot 2^{-\frac{1}{10}x}+14, gdzie T(x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza po x minutach liczonych od momentu x=0, w którym zioła zalano wrzątkiem.

Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa:

 Ciąg arytmetyczny \left(a_n\right) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. W tym ciągu a_2=9 oraz a_3=17.

8-ty wyraz tego ciągu a_{8} jest równy:

 Ciąg \left(a_n\right) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem S_n=2\cdot(3^n-1), dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:

 Trzywyrazowy ciąg (9-2a, 12, 48) jest geometryczny.

Liczba a jest równa:

 Dane są dwa kąty o miarach \alpha oraz \beta, spełniające warunki: \alpha\in\left(0^{\circ},180^{\circ}\right) i \tan\alpha=-\frac{2}{3} oraz \beta\in\left(0^{\circ},180^{\circ}\right) i \cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze \alpha oraz kąt o mierze \beta. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F.

Kąt \alpha zaznaczony jest na rysunku:

 Kąt \beta zaznaczony jest na rysunku:

 Kąt \alpha jest ostry oraz \sin\alpha=\frac{9\sqrt{97}}{97}.

Tangens kąta \alpha jest równy:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta l o równaniu y=\frac{3}{2}x+11. Prosta k jest prostopadła do prostej l i przechodzi przez punkt P=(1,-4).

Prosta k ma równanie:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są proste k oraz l o równaniach: k:y=-\frac{1}{2}x-7 i l:y=(2m-4)x+13.

Proste k oraz l są równoległe, gdy:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg \mathcal{O} o środku w punkcie S=(7,-4). Okrąg \mathcal{O} jest styczny do osi Ox układu współrzędnych.

Okrąg \mathcal{O} jest określony równaniem:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty K=(-12,-5) oraz L=(-6,1) są wierzchołkami trójkata równobocznego KLM.

Pole powierzchni trójkąta KLM jest równe:

 Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 28^{\circ}. Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Miara kąta rozwartego BOC jest równa:

 W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 6 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30^{\circ} (zobacz rysunek).

Pole rombu ABCD jest równe:

 Dany jest okrąg \mathcal{O} o środku w punkcie S. Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: |PB|=2, |PC|=3 oraz |PD|=6.

Oblicz promień okręgu \mathcal{O}.

 Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 3. Wewnątrz tego sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek).

Suma odległości punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEFGH jest równa:

 Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 64. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \alphataki, że \tan\alpha=\frac{3}{4} (zobacz rysunek).

Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

 Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.

 Oblicz długość wysokości ściany bocznej tego ostrosłupa.

 E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy -4.

 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną 5-ścienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do 5 oczek.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe:

 W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19,20] dag. Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie:

Spośród 50 zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe:

 Dominanta masy 50 zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa:

 Powyższa odpowiedź jest poprawna, ponieważ:

 Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 21 dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe możliwe.

 Oblicz to największe możliwe pole powierzchni okna.