Podgląd arkusza : lo2@cke-2024-05-pp

 Dana jest nierówność |x-1|\leqslant 3.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

 Liczba \left(\frac{1}{9}\right)^{11}\cdot 27^{22} jest równa:

 Liczba \log_{\sqrt{3}}{9} jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia (2a+b)^2-(2a-b)^2 jest równa wartości wyrażenia:

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -4-\frac{3}{2}x\lessdot \frac{2}{3}-x jest przedział postaci:

 Liczba a jest równa:

 Równanie \frac{x-4}{(x-3)(x-4)}=0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

 Dany jest wielomian W(x)=3x^3+21x^2+36x.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Rozwiąż równanie x^3+5x^2-6x-30=0.

Podaj rozwiązanie całkowite tego równania.

 Podaj ujemne nie całkowite rozwiązanie tego równania.

 Podaj dodatnie niecałkowite rozwiązanie tego równania.

 W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1660 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 8\% drzew w pierwszym sadzie i 15\% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 80\% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest:

 Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:

 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(-2k-6)x+k-2, gdzie k\in\mathbb{R}.

Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału:

 Funkcje liniowe f oraz g, określone wzorami f(x)=-2x-4 oraz g(x)=ax-2, mają to samo miejsce zerowe.

Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy:

 Parabola w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), która jest wykresem funkcji kwadratowej y=f(x) przechodzi przez punkt (-4,0) i ma wierzchołek w punkcie (-1,3).

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)\geqslant 0 jest przedział [x_1,x_2]. Wówczas:

 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem:

 Dla funkcji f prawdziwa jest równość:

 Funkcje kwadratowe g i h są określone za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+1) oraz h(x)=f(-x).

Oceń poprawność poniższych zdań:

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=(-1)^n\cdot (n-4) dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:

 Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2m-13) jest geometryczny.

Ten ciąg jest:

 Liczba m jest równa:

 Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy -10, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa -450.

Oblicz różnicę tego ciągu.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt skierowany w standardowym położeniu o mierze \alpha taki, że \tan\alpha=-3 oraz 90^{\circ}\lessdot \alpha\lessdot 180^{\circ}.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Liczba \sin^327^{\circ}+\cos^227^{\circ}\cdot\sin27^{\circ} jest równa:

 Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM|=a, |LM|=b oraz a\neq b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN|=c, |NL|=d oraz |MN|=e (zobacz rysunek).

W trójkącie KLM prawdziwa jest równość:

 Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120^{\circ}.

Pole powierzchni tego równoległoboku jest równe:

 W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42^{\circ} (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego BAS jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k:y=(m-5)x+7 i l:y=-2x+7

Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A=(2,4) oraz B=(5,1). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P=\left(\frac{5}{2},5\right).

Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.

 Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 54\sqrt{3}.

6Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:

 Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny jego podstawy jest zaznaczony na rysunku:

 Ostrosłup F_1 jest podobny do ostrosłupa F_2. Objętość ostrosłupa F_1 jest równa 4. Objętość ostrosłupa F_2 jest równa 108.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_1 jest równy:

 Rozważamy wszystkie kody n=3cyfrowe utworzone tylko z cyfr 2, 3, 9, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa:

 Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b c jest równa 17.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a, a, b, b, c, c jest równa:

 Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Dany jest n=5 cyfrowy zbiór K=\{2,3,4,5,9\}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

 W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 80 metrów bieżących siatki.
Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.

Podaj liczby x i y.