Podgląd arkusza : lo2@cke-2024-12-pp

 Liczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x+3|=5.

Suma x_1+x_2 jest równa:

 Liczba \left(\sqrt[3]{7}\cdot\frac{1}{7}\right)^{-3} jest równa:

 Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia 3\log_{5}{x}+7\log_{5}{y} jest równa wartości wyrażenia:

 Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę 55000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości p\% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa 67765.50 zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).

Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od -2, 0 oraz 2 wartość wyrażenia \frac{15x}{x^2-4}:\frac{3x^2}{x+2} jest równa wartości wyrażenia:

 Para liczb x=7 i y=-1 jest rozwiązaniem układu równań \begin{cases}ax+3y=11\\x+by=9\end{cases}, gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi.

Wartość wyrażenia a\cdot b jest równa:

 Rozwiąż równanie \frac{x-2}{x-1}=\frac{x}{7x-7}.

Podaj liczbę rozwiązań tego równania:

 Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

 Podaj największe rozwiązanie tego równania.

 Rozwiąż nierówność x(x-2)\leqslant 15.

Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Ile liczb dodatnich spełnia te nierówność?

 Funkcja f jest określona następująco: f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} 3, & \text{ dla } & x\in(-4,-2]\\ -x+1, & \text{ dla } & x\in(-2,2]\\ x-3, & \text{ dla } & x\in(2,4]\end{array}\end{cases}. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-2)-2.

Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.

 Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.

 Funkcja g jest funkcją malejącą w maksymalnym przedziale [a, b].

Podaj liczby a i b.

 Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartość największą jest przedział o końcach a i b, przy czym a < b,

Podaj liczby a i b.

 Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=ax+b jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Ox kartezjańskiego układu współrzędnych (x, y) ma współrzędne (0,4) (zobacz rysunek).

Oceń poprawność poniższych zdań:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(6,0). Do tej paraboli należy punkt o współrzędnych (0,-36).

Funkcja f jest malejąca w przedziale:

 Oceń, które z podanych wzorów poprawnie opisują funkcję f:

 Funkcja kwadratowa g określona jest wzorem g(x)=f(x)+1.

Oceń, które z podanych zdań sa prawdziwe:

 Funkcja logarytmiczna f jest określona wzorem f(x)=\log_{3}{x} dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3\cdot(-1)^n+13 dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Trzywyrazowy ciąg (-2m, -1+3m, m) jest arytmetyczny, gdy liczba m jest równa:

 Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1, w którym a_{3}=2 oraz a_{4}=5.

Wówczas wyraz a_{6} jest równy:

 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC|=4\sqrt{2} i |BC|=9. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD|=4 (zobacz rysunek).

Sinus kąta ostrego ABC jest równy:

 Tangens kąta ostrego ADC jest równy:

 Kąt o mierze \alpha jest rozwarty oraz \sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}.

Cosinus kąta o mierze \alpha jest równy:

 W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 13. Krótsza przekątna AC ma długość równą 12 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Oblicz |AD|.

 Oblicz pole powierzchni tego trapezu.

 Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu 24. Miara kąta wpisanego ACB jest równa 60^{\circ} (zobacz rysunek).

Długość łuku AB, na którym oparty jest kąt wpisany ACB, jest równa:

 Punkty A=(2,-2) i C=(4,-1) są przeciwleglymi wierzchołkami kwadratu ABCD.

Długość boku kwadratu ABCD jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y=-2x+5. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0, -1). Punkt o współrzędnych (1, p) należy do prostej l.

Liczba p jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi:
o_{1}:(x+3)^2+(y-7)^2=16
o_{2}:(x+2)^2+(y-6)^2=9
o_{3}:(x+3)^2+(y-8)^2=16
o_{4}:(x+6)^2+(y+5)^2=36
o_{5}:(x+2)^2+(y+5)^2=1
o_{6}:(x-6)^2+(y-3)^2=16

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych (x, y) jest okrąg o numerze:

 Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 28. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że \tan\alpha=\frac{9}{14}.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

 Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość p+13.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa:

 Objętość stożka o wysokości 22 jest równa \frac{10648}{9}\pi.

Oblicz miarę stopniową kąta rozwarcia tego stożka.

 Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0,3,4,8 jest:

 Dane są dwa zbiory: C=\{0,1,6,9,4\} oraz D=\{ 2,5,8\}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb będzie podzielny przez 4.

 Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Ocenę 6 otrzymało 7 uczniów.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 66 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Wyznacz długość boku x, dla której pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest największe.