Podgląd arkusza : lo2@cke-2024-12-pp

 Liczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x+5|=2.

Suma x_1+x_2 jest równa:

 Liczba \left(\sqrt[5]{5}\cdot\frac{1}{5}\right)^{-7} jest równa:

 Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia 2\log_{6}{x}+5\log_{6}{y} jest równa wartości wyrażenia:

 Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę 52000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości p\% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa 64647.70 zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).

Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od -1, 0 oraz 1 wartość wyrażenia \frac{12x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1} jest równa wartości wyrażenia:

 Para liczb x=3 i y=-5 jest rozwiązaniem układu równań \begin{cases}ax+3y=-6\\x+by=23\end{cases}, gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi.

Wartość wyrażenia a\cdot b jest równa:

 Rozwiąż równanie \frac{x-5}{x-1}=\frac{x}{5x-5}.

Podaj liczbę rozwiązań tego równania:

 Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

 Podaj największe rozwiązanie tego równania.

 Rozwiąż nierówność x(x+1)\leqslant 12.

Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Ile liczb dodatnich spełnia te nierówność?

 Funkcja f jest określona następująco: f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} 3, & \text{ dla } & x\in(-4,-2]\\ -x+1, & \text{ dla } & x\in(-2,2]\\ x-3, & \text{ dla } & x\in(2,4]\end{array}\end{cases}. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-3)-4.

Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.

 Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.

 Funkcja g jest funkcją malejącą w maksymalnym przedziale [a, b].

Podaj liczby a i b.

 Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartość największą jest przedział o końcach a i b, przy czym a < b,

Podaj liczby a i b.

 Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=ax+b jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Ox kartezjańskiego układu współrzędnych (x, y) ma współrzędne (0,4) (zobacz rysunek).

Oceń poprawność poniższych zdań:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(2,0). Do tej paraboli należy punkt o współrzędnych (0,-12).

Funkcja f jest malejąca w przedziale:

 Oceń, które z podanych wzorów poprawnie opisują funkcję f:

 Funkcja kwadratowa g określona jest wzorem g(x)=f(x)-1.

Oceń, które z podanych zdań sa prawdziwe:

 Funkcja logarytmiczna f jest określona wzorem f(x)=\log_{2}{x} dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2\cdot(-1)^n+11 dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Trzywyrazowy ciąg (-5m, -3+m, m) jest arytmetyczny, gdy liczba m jest równa:

 Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1, w którym a_{2}=2 oraz a_{3}=8.

Wówczas wyraz a_{5} jest równy:

 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC|=2\sqrt{5} i |BC|=6. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD|=2 (zobacz rysunek).

Sinus kąta ostrego ABC jest równy:

 Tangens kąta ostrego ADC jest równy:

 Kąt o mierze \alpha jest rozwarty oraz \sin\alpha=\frac{\sqrt{95}}{12}.

Cosinus kąta o mierze \alpha jest równy:

 W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 20. Krótsza przekątna AC ma długość równą 16 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Oblicz |AD|.

 Oblicz pole powierzchni tego trapezu.

 Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu 6. Miara kąta wpisanego ACB jest równa 60^{\circ} (zobacz rysunek).

Długość łuku AB, na którym oparty jest kąt wpisany ACB, jest równa:

 Punkty A=(4,-5) i C=(1,-4) są przeciwleglymi wierzchołkami kwadratu ABCD.

Długość boku kwadratu ABCD jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y=-5x+2. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0, -3). Punkt o współrzędnych (1, p) należy do prostej l.

Liczba p jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi:
o_{1}:(x+8)^2+(y-2)^2=9
o_{2}:(x+7)^2+(y-3)^2=16
o_{3}:(x-6)^2+(y+8)^2=49
o_{4}:(x-9)^2+(y+4)^2=25
o_{5}:(x-5)^2+(y-8)^2=16
o_{6}:(x-4)^2+(y-8)^2=25

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych (x, y) jest okrąg o numerze:

 Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 24. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że \tan\alpha=\frac{1}{2}.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

 Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość p+15.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa:

 Objętość stożka o wysokości 16 jest równa \frac{4096}{9}\pi.

Oblicz miarę stopniową kąta rozwarcia tego stożka.

 Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0,1,2,6 jest:

 Dane są dwa zbiory: C=\{9,7,2,3,8\} oraz D=\{ 1,4,6\}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb będzie podzielny przez 4.

 Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 23 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Ocenę 6 otrzymało 6 uczniów.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 78 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Wyznacz długość boku x, dla której pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest największe.