Podgląd arkusza : lo2@cke-2025-05-pp

 Liczba \left(\sqrt{108}-\sqrt{3}\right)^2 jest równa:

 Liczba \frac{5^{22}+5^{23}+5^{24}}{5^{22}} jest równa:

 Liczba \log_{2}{1296}-4\log_{2}{3} jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (6x+2)^2-(2x-6)^2 jest równa wartości wyrażenia:

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -7-2(1+3x)\leqslant 2x-17 jest przedział:

 Równanie 2x(x-2)(x^2-4)=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

 Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od -7 oraz różnej od 0 wartość wyrażenia \frac{x^2+2x}{x^2+14x+49}\cdot\frac{x+7}{x} jest równa wartości wyrażenia:

 Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1670000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 247950 złotych – zespół A wykorzystał 18\% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 9\% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.

 Rozwiązaniem nierówności 3(2x^2+12x+19)<11x+33 jest przedział postaci:

 Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Funkcja f jest określona następująco: f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} x+5, & \text{ dla } & x\in[-4,-2]\\ 3, & \text{ dla } & x\in(-2,2]\\ -3x+9, & \text{ dla } & x\in(2,4)\end{array}\end{cases}. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-2)+1.

Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.

 Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.

 Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział [a,b].

Podaj liczby a i b.

 Pewien przedział [a,b] jest zbiorem wszystkich rozwiązań równania g(x)=m.

Podaj liczbę m.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(-4,-3). Do tej paraboli należy punkt o współrzędnych (0,-19).

Funkcja ta określona jest wzorem f(x)=a(x-p)^2+q. Podaj liczby a, p i q.

 Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu:

 Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x)-1. Liczby x_1 oraz x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji g.

Suma x_1+x_2 jest równa:

 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(1+2m)x-1.

Funkcja ta nie ma miejsca zerowego dla m równego:

 Ciąg (a_n) jest określony następująco \begin{cases}a_1=4\\ a_{n+1}=4a_n+5\end{cases} dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Trzeci wyraz ciągu (a_n) jest równy:

 Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Wyznacz wartości m, dla których trzywyrazowy ciąg (2m+17, m^2+6m+12,2-m) jest arytmetyczny.

Podaj najmniejsze i największe takie m.

 Podaj tę wartość m, dla której ciąg arytmetyczny jest malejący.

 Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, w którym a_1=5 oraz a_2=\frac{5}{2}.

Czwarty wyraz ciągu (a_n) jest równy:

 Kąt \alpha jest ostry i spełnia warunek \sqrt{7}\tan\alpha=2\sin\alpha.

Cosinus kąta \alpha jest równy:

 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 40, a środkowa CD ma długość 29. Oznaczmy kąt ADC przez \alpha, natomiast kąt ABC – przez \beta (zobacz rysunek).

Tangens kąta \alpha jest równy:

 Sinus kąta \beta jest równy:

 Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 56^{\circ} (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego ABO jest równa:

 W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC|=|BC|=7 i |AB|=5. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano taki punkt D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek).

Odcinek BD ma długość:

 Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=19, |BC|=20 oraz |\sphericalangle ABC|=60^{\circ} (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest kwadrat ABCD, w którym A=(2, 1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S=(1, -4).

Przekątna kwadratu ABCD ma długość:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k:y=(2m+1)x+5 i l:y=-4x+(m+3).

Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P=(0,0) należy do okręgu \mathcal{O} o środku w punkcie S=(1,-4).

Okrąg \mathcal{O} jest określony równaniem:

 Tworząca stożka ma długość 16. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 90^{\circ}.

Obwód podstawy tego stożka ma długość p\cdot \pi. Wyznacz liczbę p.

 Objętośc tego stożka jest równa p\cdot \pi. Wyznacz liczbę p.

 Objętość sześcianu jest równa 320\sqrt{5}.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

 Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest:

 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną 11-scienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do 11 oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 20.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:

 Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 8, x, y, jest równa 3.

Suma x+y jest równa:

 Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 26 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Ocenę 6 otrzymało 9 uczniów.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 32 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 51 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.