Podgląd arkusza : lo2@cke-2025-05-pp

 Liczba \left(\sqrt{72}-\sqrt{2}\right)^2 jest równa:

 Liczba \frac{7^{10}+7^{11}+7^{12}}{7^{10}} jest równa:

 Liczba \log_{5}{2500}-2\log_{5}{2} jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (x+8)^2-(8x-1)^2 jest równa wartości wyrażenia:

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1-2(1+x)\leqslant 2x-17 jest przedział:

 Równanie 2x(x+6)(x^2-36)=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

 Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od -10 oraz różnej od 0 wartość wyrażenia \frac{x^2-6x}{x^2+20x+100}\cdot\frac{x+10}{x} jest równa wartości wyrażenia:

 Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1990000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 369450 złotych – zespół A wykorzystał 25\% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 12\% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.

 Rozwiązaniem nierówności 3(2x^2+4x+3)<11x+11 jest przedział postaci:

 Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Funkcja f jest określona następująco: f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} x+5, & \text{ dla } & x\in[-4,-2]\\ 3, & \text{ dla } & x\in(-2,2]\\ -3x+9, & \text{ dla } & x\in(2,4)\end{array}\end{cases}. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-4)-4.

Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.

 Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.

 Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartości nie mniejsze niż -4, jest przedział [a,b].

Podaj liczby a i b.

 Pewien przedział [a,b] jest zbiorem wszystkich rozwiązań równania g(x)=m.

Podaj liczbę m.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(-4,-2). Do tej paraboli należy punkt o współrzędnych (0,30).

Funkcja ta określona jest wzorem f(x)=a(x-p)^2+q. Podaj liczby a, p i q.

 Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu:

 Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x-1). Liczby x_1 oraz x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji g.

Suma x_1+x_2 jest równa:

 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(6-6m)x-6.

Funkcja ta nie ma miejsca zerowego dla m równego:

 Ciąg (a_n) jest określony następująco \begin{cases}a_1=4\\ a_{n+1}=4a_n+2\end{cases} dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Trzeci wyraz ciągu (a_n) jest równy:

 Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Wyznacz wartości m, dla których trzywyrazowy ciąg (2m+27, m^2+16m+67,-3-m) jest arytmetyczny.

Podaj najmniejsze i największe takie m.

 Podaj tę wartość m, dla której ciąg arytmetyczny jest malejący.

 Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, w którym a_1=6 oraz a_2=\frac{6}{5}.

Czwarty wyraz ciągu (a_n) jest równy:

 Kąt \alpha jest ostry i spełnia warunek \sqrt{3}\tan\alpha=2\sin\alpha.

Cosinus kąta \alpha jest równy:

 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 28, a środkowa CD ma długość 50. Oznaczmy kąt ADC przez \alpha, natomiast kąt ABC – przez \beta (zobacz rysunek).

Tangens kąta \alpha jest równy:

 Sinus kąta \beta jest równy:

 Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 69^{\circ} (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego ABO jest równa:

 W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC|=|BC|=5 i |AB|=3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano taki punkt D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek).

Odcinek BD ma długość:

 Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=25, |BC|=26 oraz |\sphericalangle ABC|=60^{\circ} (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest kwadrat ABCD, w którym A=(-3, 2). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S=(1, -4).

Przekątna kwadratu ABCD ma długość:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k:y=(-6m+6)x+5 i l:y=-2x+(m+3).

Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P=(0,0) należy do okręgu \mathcal{O} o środku w punkcie S=(6,-2).

Okrąg \mathcal{O} jest określony równaniem:

 Tworząca stożka ma długość 24. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60^{\circ}.

Obwód podstawy tego stożka ma długość p\cdot \pi. Wyznacz liczbę p.

 Objętośc tego stożka jest równa p\cdot \pi. Wyznacz liczbę p.

 Objętość sześcianu jest równa 128\sqrt{2}.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

 Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest:

 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną 5-scienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do 5 oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 8.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:

 Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 9, x, y, jest równa 3.

Suma x+y jest równa:

 Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 23 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Ocenę 6 otrzymało 6 uczniów.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 44 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 78 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.