Podgląd arkusza : lo2@cke-2025-06-pp

 Liczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x+4|=4.

Iloczyn x_1\cdot x_2 jest równy:

 Liczba 2^{9}\cdot \sqrt[3]{8^{7}} jest równa:

 Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Liczba \left(\sqrt{5}+1\right)^2-\sqrt{125} jest równa:

 Dana jest nierówność -3-\frac{3-2x}{2}\geqslant 3x.

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest:

 Równanie 4(x+3)^2(x^2-9)=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

 W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1860 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 90\% drzew w pierwszym sadzie i 80\% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 200\% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.

 Rozwiązaniem nierówności (x+6)(x+10) < x+4 jest przedział postaci:

 Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Ile liczb całkowitych spełnia tę nierówność?

 Funkcja f jest określona następująco: f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} -x-2, & \text{ dla } & x\in(-5,-2]\\ 0, & \text{ dla } & x\in(-2,1]\\ x, & \text{ dla } & x\in(1,3]\end{array}\end{cases}. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-4).

Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.

 Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.

 Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji g jest przedział [a,b].

Podaj liczby a i b.

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < f(-3) jest przedział (a,b].

Podaj liczby a i b.

 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=\frac{1}{2}x-k+6, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji f jest liczbą większą od 2.

Liczba k należy do przedziału:

 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=5x. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przesunięto o wektor o współrzędnych \vec{u}=[-3,4], w wyniku czego otrzymano wykres funkcji liniowej g.

Funkcja g jest określona wzorem:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (0,30). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x=-1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba x_1=3.

Wyznacz drugie miejsce zerowe funkcji f.

 Wyznacz współrzedne wierzchołka wykresu funkcji f.

 Zapisz wzór funkcji f w postaci f(x)=a(x-p)^2+q.

Podaj liczbę a.

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=5n^2+5n, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Suma S_3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa:

 Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1, dane są wyrazy: a_1=2 oraz a_{25}=-6.

Różnica ciągu (a_n) jest równa:

 Suma S_{25} dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa:

 Trzywyrazowy ciąg (4, m+4, m+3) jest geometryczny, gdy liczba m jest równa:

 Liczba \frac{\sin^330^{\circ}+\sin30^{\circ}\cdot\cos^230^{\circ}}{\cos30^{\circ}} jest równa:

 Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \alpha oraz \beta (zobacz rysunek). Sinus kąta \alpha jest równy \frac{1}{4}.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 24, 32 oraz 40.

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa:

 Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa:

 Na dziesięciokącie foremnym ABCDEFGHIJ opisano okrąg o środku w punkcie S (zobacz rysunek).

Miara kąta środkowego okręgu ASD jest równa:

 Kwadrat K_2 jest podobny do kwadratu K_1 w skali 7 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 100.

Długość boku kwadratu K_1 jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y=5x+3. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0, -8).

Punkt o współrzędnych (p, 2) należy do prostej l. Oblicz p.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg \mathcal{O} o równaniu \mathcal{O}:(x+3)^2+(y-4)^2=64. Okrąg \mathcal{K} jest obrazem okręgu \mathcal{O} w symetrii osiowej względem osi Ox układu współrzędnych.

Okrąg \mathcal{K} jest określony równaniem:

 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \frac{104}{3}. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 3.

Oblicz długość najkrótszej krawędzi tego prostopadłościanu.

 Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

 Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest 3 razy większe od pola jego podstawy.

Długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa:

 Tworząca stożka ma długość 10. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60^{\circ}.

Wysokość tego stożka jest równa:

 Dane są dwa zbiory: X=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\} oraz Y=\{ -1,0,1,2,3\}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy parę uporządkowaną (x, y) taką, że x\in X, y\in Y.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x,y), która będzie spełniać warunek x\cdot y\geqslant 0.

 Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest:

 Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c, jest równa 13.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 6a, 5a, 10b, b, c, 10c, jest równa:

 W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 34 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów      :    0 |  1 |  2 |  3 |  4 |  5 |
Liczba uczniów      :    3 |  8 |  6 |  7 |  3 |  7 |

Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie k uczniów tej klasy.

Podaj liczbę k:

 Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa:

 Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa:

 Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem Z(x)=(570+30x)(23-x) gdzie:

• x – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x\geqslant 1 i x\leqslant 23,
• Z – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego: