Podgląd arkusza : lo2@cke-2025-08-pp

 Liczba \left|\sqrt{3}-10\right|+\left|\sqrt{3}-1\right| jest równa:

 Liczba \frac{16^{-5}}{64^{-4}} jest równa:

 Liczba \sqrt[3]{40}+\sqrt[3]{320} jest równa:

 Liczba \log_{3}{3}-\log_{3}{81} jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y, wartość wyrażenia (4x+y)^2-(4x-y)^2 jest równa wartości wyrażenia:

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5-x\geqslant \frac{5x-8}{2} jest przedział:

 Dane jest równanie \frac{3}{3x-13}=\frac{5x-10}{x-10}, gdzie x\neq \frac{13}{3} i x\neq 10.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

 Podaj największe rozwiązanie tego równania.

 Ile rozwiązań ma to równanie?

 Rozwiązaniem nierówności -3x^2 > -18x+15 jest zbiór postaci:

 Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Ile liczb całkowitych spełnia tę nierówność?

 Suma wszystkich rozwiązań równania (x+5)(1+2x)(1-x)=0 jest równa:

 Właściciel restauracji kupił 80 kilogramów pomidorów: x kg pomidorów malinowych w cenie 14 złotych za kilogram oraz y kg pomidorów cherry w cenie 21.69 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 1327.63 złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.

 Funkcja f jest określona następująco: f(x)=\begin{cases}\begin{array}{ll} -2x-10, & \text{ dla } x\in(-5,-3]\\ x-1, & \text{ dla } x\in(-3,4]\end{array}\end{cases}. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x+1).

Miejscem zerowym funkcji g jest liczba:

 Wartość wyrażenia w=g(-4)+3\cdot g(1) jest liczba:

 Zbiorem wartości funkcji g jest przedział [a,b].

Podaj liczby a i b.

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności g(x) < -2 jest przedział (a,b).

Podaj liczby a i b.

 Miejscem zerowym funkcji liniowej g jest liczba 4. Dla argumentu 0 funkcja g przyjmuje wartość -2.

Wówczas:

 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=\frac{1}{3}x^2+bx+c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta o równaniu x=2 jest osią symetrii wykresu funkcji f.

Funkcja f jest określona wzorem:

 Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x-1).

Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu:

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=\frac{128\cdot (-1)^n}{2^{n-4}}, dla każdej liczby naturalnej n\in\mathbb{N_+}.

Szósty wyraz tego ciągu jest równy:

 Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\in\mathbb{N_+}. Różnica tego ciągu jest równa -6 oraz a_{13}=-57.

Wyraz a_{4} tego ciągu jest równy:

 Ciąg geometryczny (a_n), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_{6}=\frac{1}{8}a_{9}.

Iloraz tego ciągu jest równy:

 Trzywyrazowy ciąg \left(\sqrt{11},2, x\right) jest jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg \left(\sqrt{7},\sqrt{5}, y\right) jest geometryczny.

Liczby x oraz y spełniają warunki:

 Kąt \alpha jest ostry oraz \cos\alpha=\frac{9}{41}.

Tangens kąta \alpha jest równy:

 Liczba \sin{60}^{\circ}\cdot\sin{60}^{\circ}+\cos{60}^{\circ}\cdot\cos{60}^{\circ} jest równa:

 Punkty A, B, C oraz D należą do okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S należy do odcinka BD. Kąt BDA ma miarę 26^{\circ}, a kąt DBC ma miarę 75^{\circ} (zobacz rysunek).

Miara stopniowa kąta ostrego BSA jest równa:

 Długość łuku BC, na którym jest oparty kąt wpisany w okrąg CDB jest równa:

 Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=7, |AC|=11 oraz |\sphericalangle CAB|=60^{\circ} (zobacz rysunek).

Pole trójkąta ABC jest równe:

 Kwadrat długości boku BC jest równy:

 Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD takich, że |AB|=4\cdot |CD|. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są prosta k o równaniu y=(-2-m)x+5 oraz prosta l o równaniu y=(m+1)x-4.

Wyznacz liczbę m, dla której proste k oraz l są równoległe.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg \mathcal{O} o równaniu \mathcal{O}: (x+2)^2+(y+9)^2=49.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 5\sqrt{3}. Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 45^{\circ} (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

 Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

 Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 16\sqrt{7}\pi^2.

Wysokość h tego walca jest równa:

 Wszystkich różnych liczb naturalnych trzycyfrowych większych od 500, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są nieparzyste, jest:

 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 5.

 W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek, przy czym jedną liczbę usterek wykryto w 23 samochodach.

Podaj dominantę liczby usterek wykrytych w tej stacji.

 Wyznacz średnią arytmetyczną liczby usterek wykrytych na tej stacji.

 Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi p\% liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Podaj liczbę p.

 Hotel ma do dyspozycji gości n=106 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

• przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 6 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1

.

Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 6x złotych, opisuje funkcja P(x)=(106-x)(120+6x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x\geqslant 0 i x\leqslant 106.

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy.