Podgląd arkusza : lo2@cke-2025-08-pp

 Liczba \left|\sqrt{13}-12\right|+\left|\sqrt{13}-1\right| jest równa:

 Liczba \frac{4^{-5}}{16^{-3}} jest równa:

 Liczba \sqrt[3]{128}+\sqrt[3]{54} jest równa:

 Liczba \log_{2}{2}-\log_{2}{8} jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y, wartość wyrażenia (4x+y)^2-(4x-y)^2 jest równa wartości wyrażenia:

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 4-x\geqslant \frac{5x-2}{2} jest przedział:

 Dane jest równanie \frac{3}{3x+8}=\frac{5x+25}{x-3}, gdzie x\neq -\frac{8}{3} i x\neq 3.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

 Podaj największe rozwiązanie tego równania.

 Ile rozwiązań ma to równanie?

 Rozwiązaniem nierówności -4x^2 > 8x-12 jest zbiór postaci:

 Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Ile liczb całkowitych spełnia tę nierówność?

 Suma wszystkich rozwiązań równania (4x+1)(4-3x)(4-x)=0 jest równa:

 Właściciel restauracji kupił 80 kilogramów pomidorów: x kg pomidorów malinowych w cenie 9 złotych za kilogram oraz y kg pomidorów cherry w cenie 19.47 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 1044.57 złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.

 Funkcja f jest określona następująco: f(x)=\begin{cases}\begin{array}{ll} -2x-10, & \text{ dla } x\in(-5,-3]\\ x-1, & \text{ dla } x\in(-3,4]\end{array}\end{cases}. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x+5).

Miejscem zerowym funkcji g jest liczba:

 Wartość wyrażenia w=g(-8)+3\cdot g(-3) jest liczba:

 Zbiorem wartości funkcji g jest przedział [a,b].

Podaj liczby a i b.

 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności g(x) < -2 jest przedział (a,b).

Podaj liczby a i b.

 Miejscem zerowym funkcji liniowej g jest liczba -2. Dla argumentu 0 funkcja g przyjmuje wartość -1.

Wówczas:

 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-\frac{1}{3}x^2+bx+c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta o równaniu x=-1 jest osią symetrii wykresu funkcji f.

Funkcja f jest określona wzorem:

 Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x-2).

Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu:

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=\frac{128\cdot (-1)^n}{2^{n-3}}, dla każdej liczby naturalnej n\in\mathbb{N_+}.

Szósty wyraz tego ciągu jest równy:

 Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\in\mathbb{N_+}. Różnica tego ciągu jest równa -5 oraz a_{11}=-36.

Wyraz a_{5} tego ciągu jest równy:

 Ciąg geometryczny (a_n), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_{3}=\frac{1}{64}a_{6}.

Iloraz tego ciągu jest równy:

 Trzywyrazowy ciąg \left(\sqrt{13},\sqrt{2}, x\right) jest jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg \left(\sqrt{6},\sqrt{5}, y\right) jest geometryczny.

Liczby x oraz y spełniają warunki:

 Kąt \alpha jest ostry oraz \cos\alpha=\frac{3}{5}.

Tangens kąta \alpha jest równy:

 Liczba \sin{30}^{\circ}\cdot\cos{30}^{\circ}+\sin{30}^{\circ}\cdot\cos{30}^{\circ} jest równa:

 Punkty A, B, C oraz D należą do okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 42. Punkt S należy do odcinka BD. Kąt BDA ma miarę 28^{\circ}, a kąt DBC ma miarę 70^{\circ} (zobacz rysunek).

Miara stopniowa kąta ostrego BSA jest równa:

 Długość łuku BC, na którym jest oparty kąt wpisany w okrąg CDB jest równa:

 Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=6, |AC|=3 oraz |\sphericalangle CAB|=30^{\circ} (zobacz rysunek).

Pole trójkąta ABC jest równe:

 Kwadrat długości boku BC jest równy:

 Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD takich, że |AB|=2\cdot |CD|. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są prosta k o równaniu y=(-4-m)x+5 oraz prosta l o równaniu y=(m-1)x-4.

Wyznacz liczbę m, dla której proste k oraz l są równoległe.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg \mathcal{O} o równaniu \mathcal{O}: (x-1)^2+(y-7)^2=81.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 4\sqrt{3}. Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 30^{\circ} (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

 Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

 Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 Objętość walca o promieniu podstawy 5 jest równa 25\sqrt{3}\pi^2.

Wysokość h tego walca jest równa:

 Wszystkich różnych liczb naturalnych trzycyfrowych większych od 400, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są nieparzyste, jest:

 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie parzysta i podzielna przez 4.

 W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek, przy czym jedną liczbę usterek wykryto w 21 samochodach.

Podaj dominantę liczby usterek wykrytych w tej stacji.

 Wyznacz średnią arytmetyczną liczby usterek wykrytych na tej stacji.

 Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi p\% liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Podaj liczbę p.

 Hotel ma do dyspozycji gości n=98 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

• przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 4 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1

.

Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 4x złotych, opisuje funkcja P(x)=(98-x)(120+4x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x\geqslant 0 i x\leqslant 98.

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy.