Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3
Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10261 ⋅ Poprawnie: 3/4 [75%]
Rozwiąż
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Dany jest ciąg liczbowy
(a_n) określony wzorem
a_n=4n-n^3 . Wyraz
a_{2k-p} tego ciągu
jest równy
ak^3+bk^2+ck+d .
Podaj liczby b , c i d .
Dane
p=3
Odpowiedzi:
Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10265 ⋅ Poprawnie: 7/7 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Ciąg liczbowy
(a_n) określony wzorem
\begin{cases}
a_1=a \\
a_{n+1}=\frac{b}{a_n}
\end{cases}
jest:
Dane
a=\frac{1}{7}=0.14285714285714
b=5
Odpowiedzi:
A. rosnący
B. niemonotoniczny
C. malejący
D. niemalejący
Zadanie 3. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10139 ⋅ Poprawnie: 5/11 [45%]
Rozwiąż
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Ciąg
b_n=\frac{2n-5}{n+4} jest zbieżny i
\lim_{n\to\infty} b_n=2 . Nierówności
|b_n-2| \lessdot 0,02 nie spełnia
p wyrazów tego ciągu.
Wyznacz liczbę p .
Odpowiedź:
p=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 4. 1 pkt ⋅ Numer: pr-11653 ⋅ Poprawnie: 17/16 [106%]
Rozwiąż
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Ciąg
(a_n) jest określony wzorem
a_n=\frac{-4n^2+2n-4}{-2-n-2n^2} dla
każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 .
Granica g tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi:
A. -\frac{2}{3}
B. \frac{4}{3}
C. -\frac{4}{3}
D. 2
E. -4
F. \frac{8}{3}
Zadanie 5. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10329 ⋅ Poprawnie: 10/12 [83%]
Rozwiąż
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy
\frac{3}{2} , a suma
wszystkich jego wyrazów jest równa
\frac{27}{4} .
Wyznacz najmniejszy możliwy iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 6. 3 pkt ⋅ Numer: pr-21203 ⋅ Poprawnie: 2/6 [33%]
Rozwiąż
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Pierwszy wyraz ciągu
(a_n) , określonego dla
n\geqslant 1 ,
jest równy
1 . Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek
a_n=3a_{n+1}+4n^2+1 .
Oblicz a_3 .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 7. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20811 ⋅ Poprawnie: 1/5 [20%]
Rozwiąż
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
« Dany jest ciąg geometryczny
(a_n) o ilorazie
q .
Oblicz najmniejszą możliwą wartość liczby q^2 .
Dane
a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=186
\frac{a_1+a_5}{a_3}=\frac{17}{4}=4.25000000000000
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Dla wyznaczonej najmniejszej wartości liczby
q^2 ,
oblicz pierwszy wyraz tego ciągu o ilorazie
|q| .
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 8. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20812 ⋅ Poprawnie: 21/23 [91%]
Rozwiąż
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
« Ciąg liczbowy
(a,b+m,1) jest arytmetyczny, zaś ciąg
(1,a,b+m) jest geometryczny.
Podaj najmniejsze możliwe b .
Dane
m=-1
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe
b .
Odpowiedź:
b_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 9. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20823 ⋅ Poprawnie: 18/21 [85%]
Rozwiąż
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Oblicz
\lim_{n\to+\infty} \frac{1+5+9+...+(4n-3)}{4+(4+7)+(4+14)+...+4+(7n-7)}
.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 10. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20488 ⋅ Poprawnie: 1/3 [33%]
Rozwiąż
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
» Iloraz ciągu geometrycznego
(b_n) wynosi
\frac{\sqrt{6}}{6} , a suma jego wszystkich wyrazów
jest równa
6+\sqrt{6} .
Oblicz b_5 .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 11. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30178 ⋅ Poprawnie: 49/44 [111%]
Rozwiąż
Podpunkt 11.1 (4 pkt)
Dla każdego
x\in\mathbb{R_+}-\{1\} liczby
\log_{2}{x} ,
\log_{\sqrt[k]{m}}{x}
i
\log_{4}{x} są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego.
Wyznacz m .
Dane
k=9
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 12. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30184 ⋅ Poprawnie: 1/4 [25%]
Rozwiąż
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
« Ciąg
(a,b,c+64+k) jest ciągiem geometrycznym,
natomiast ciąg
(a,b,c+k) jest ciągiem arytmetycznym.
Ponadto ciąg
(a,b-8,c+k) jest geometryczny.
Podaj najmniejsze możliwe c .
Dane
k=-16
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 12.2 (2 pkt)
Podaj największe możliwe
c .
Odpowiedź:
c_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 13. 4 pkt ⋅ Numer: pr-31057 ⋅ Poprawnie: 14/32 [43%]
Rozwiąż
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Dany jest nieskończony ciąg okręgów
(o_n) o równaniach
x^2+y^2=3^{23-n} , gdzie
n\geqslant 1 .
Niech
P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem
o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem
o_{2k} .
Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci
S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{23-2k} .
Podaj liczbę a .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.
Wyznacz iloraz q tego ciągu.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 13.3 (2 pkt)
Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa
\frac{3^m}{n} , gdzie
m,n\in\mathbb{Z_{+}} i
n jest najmniejszą możliwą
liczbą całkowitą dodatnią.
Podaj liczby m i n .
Odpowiedzi:
Rozwiąż