Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 Dany jest ciąg (a_n), który spełnia warunki: a_{n+1}-a_{n+2}=a\cdot n oraz a_{n+1}+a_{n+2}=b\cdot n+c.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

 Ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem \begin{cases} a_1=a \\ a_{n+1}=\frac{b}{a_n} \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{70} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Granicą ciągu liczbowego \lim_{n\to+\infty} \frac{-2}{\sqrt{64n^2+1}-8} jest:

 « Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 16.

Oblicz iloraz tego ciągu.

 W chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 6 gram. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 21\% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t\geqslant 0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m(t).

Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

 » Ciąg (a_n) określony jest wzorem a_n=\frac{n^2(2n-1)}{1+5+9+...+4n-3}.

Oblicz S_{k}.

 « Ciąg liczbowy (a,b+m,1) jest arytmetyczny, zaś ciąg (1,a,b+m) jest geometryczny.

Podaj najmniejsze możliwe b.

 Podaj największe możliwe b.

 Oblicz \lim_{n\to+\infty} \frac{2+5+8+...+(3\cdot(n+4)-1)}{(\sqrt{4}n+1)^2} .

 » Iloraz ciągu geometrycznego (b_n) wynosi \frac{\sqrt{7}}{7}, a suma jego wszystkich wyrazów jest równa 14+2\sqrt{7}.

Oblicz b_5.

 « Dany jest ciąg określony wzorem a_n=(-1)^n\cdot (2n-1). Uzasadnij, że ciąg b_n=a_{2n+1} jest arytmetyczny.

Oblicz S_{k} ciągu (b_n).

 Oblicz S_{k} ciągu (a_n).

 Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 155. Liczby x, y oraz z są - odpowiednio – wyrazami a_1, a_2 oraz a_{7} ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1.

Oblicz x, y oraz z.
Podaj iloraz q ciągu geometrycznego.

 Podaj różnicę r ciągu arytmetycznego.

 Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=3^{39-n}, gdzie n\geqslant 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.

Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{39-2k}.
Podaj liczbę a.

 Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą liczbą całkowitą dodatnią.

Podaj liczby m i n.