Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 O ciągu (a_n) wiadomo, że a_{n+p}=\frac{1-3n}{4n-2}. Wówczas ogólny wyraz tego ciągu a_n jest równy \frac{-3n+c}{4n+d}.

Wyznacz liczby c i d.

 Ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem \begin{cases} a_1=a \\ a_{n+1}=\frac{b}{a_n} \end{cases} jest:

 Ciąg b_n=\frac{2n-9}{n+3} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} b_n=2. Nierówności |b_n-2| \lessdot 0,02 nie spełnia p wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę p.

 Oblicz granicę \lim_{n\to+\infty}\frac{\left(8n^2+4n\right)^2}{12n^4-4} .

 « Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony w następujący sposób: \begin{cases} a_1=\frac{3}{8} \\ a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n \text{, dla } n\in\mathbb{N_+} \end{cases} .

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

 «« W ciągu (c_n) czwarty wyraz jest równy 4 oraz zachodzi równość c_{n+2}-c_{n+1}=n-2 dla każdej liczby naturalnej n.

Oblicz c_1.

 Rozwiąż równanie 2^1\cdot 2^3\cdot 2^5\cdot ...\cdot 2^{2x+27}=64\cdot 4^{x+15} .

Podaj największe x spełniające to równanie.

 W trzywyrazowym ciągu arytmetycznym (x,y,z) liczba z jest równa 13. Po przestawieniu wyrazów ciąg (z,x,y) jest ciągiem geometrycznym.

Podaj najmniejsze możliwe x.

 Podaj najmniejsze możliwe y.

 Podaj największe możliwe y.

 « Oblicz granicę \lim_{n\to+\infty} \left(\frac{15n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{6n^2+2n+1}{5n^2-4}\right) .

 Rozwiąż nierówność \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^3+ \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^4+... \lessdot 1+\sqrt{\frac{x}{a}} .

Podaj najmniejszą liczbę spełniającą tę nierówność.

 Podaj najmniejszą liczbę dodatnią, która nie spełnia tej nierówności.

 Boki AB, BC, CD i DA czworokąta wpisanego w okrąg mają długości odpowiednio 2a, 2a, a\sqrt{5} i a\sqrt{3}, zaś kąty przy wierzchołkach A, B i C tworzą ciąg arytmetyczny.

Oblicz pole powierzchni tego czworokąta.

 W niestałym ciągu arytmetycznym a_1=a. Ponadto wyrazy a_2, a_3 i a_6 sa trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Ostatni k-ty wyraz tego ciągu jest równy a_k=p.

Oblicz a_1+a_2+a_3+...+a_k.

 Określamy kwadraty K_1, K_2, K_3,... następująco:

K_1 jest kwadratem o boku długości a,

K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:5

K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:5 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:

K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:5

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Przyjmując, że a=7, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.