Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 O ciągu (a_n) wiadomo, że a_{n+p}=\frac{1-3n}{4n-2}. Wówczas ogólny wyraz tego ciągu a_n jest równy \frac{-3n+c}{4n+d}.

Wyznacz liczby c i d.

 « Ciąg liczbowy (b_n) określony wzorem \begin{cases} b_1=a \\ b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{30} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=\frac{-2n^2+4n-3}{1+3n-5n^2} dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Granica g tego ciągu jest równa:

 Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie \frac{1}{\sqrt{8}}. Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie -\frac{1}{\sqrt{8}}.
Wynika stąd, że liczba x-y jest równa:

 « Dany jest ciąg (a_n), w którym S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n, dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}. Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi wzór: S_n=\frac{n+1}{p\cdot(n+1)+q}.

Oblicz a_2.

 Ogólny wyraz tego ciągu określony jest wzorem a_n=\frac{-1}{bn^2+cn}.

Podaj c.

 «« Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez a lub przez b.

 Ciąg (x,y,z) jest rosnącym ciągiem geometrycznym, zaś ciąg (b_n) ciągiem arytmetycznym. Zachodzą równości: x+y+z=456, b_1=x, b_{7}=y i b_{49}=z. Oblicz x,y,z.

Podaj x.

 Podaj y.

 « Oblicz granicę \lim_{n\to+\infty} \left(\frac{8n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{8n^2+2n+1}{5n^2-4}\right) .

 « Ciąg (c_n) określony jest rekurencyjnie: \begin{cases} c_1=\frac{1}{2} \\ c_{n}=\frac{11\cdot c_{n-1}}{1+2+3+...+21}\text{, dla }n > 1 \end{cases} oraz S_n=c_1+c_2+c_3+...+c_n.

Oblicz \lim_{n\to\infty}S_n.

 « W ciągu arytmetycznym mamy: a_3=4 i a_7=16. Rozwiąż nierówność S_n \lessdot k.

Podaj największe n spełniające tę nierówność.

 « Ciąg (a_1,a_2,a_3) jest rosnącym ciągiem geometrycznym oraz a_1+a_2+a_3=s. Ciąg (a_1,a_2+b,a_3+c) jest arytmetyczny. Wyznacz wyrazy tego ciągu.

Podaj pierwszy wyraz ciągu (a_n).

 Podaj iloraz ciągu (a_n).

 Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=3^{23-n}, gdzie n\geqslant 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.

Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{23-2k}.
Podaj liczbę a.

 Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą liczbą całkowitą dodatnią.

Podaj liczby m i n.