Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 Dany jest ciąg (a_n), który spełnia warunki: a_{n+1}-a_{n+2}=a\cdot n oraz a_{n+1}+a_{n+2}=b\cdot n+c.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

 « Ciąg liczbowy (b_n) określony wzorem \begin{cases} b_1=a \\ b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n \end{cases} jest:

 Ciąg b_n=\frac{2n-9}{n+2} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} b_n=2. Nierówności |b_n-2| \lessdot 0,02 nie spełnia p wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę p.

 Oblicz granicę \lim_{n\to+\infty}\frac{\left(8n^2+4n\right)^2}{12n^4-4} .

 « Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{13}{4}, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 13.

Wyznacz najmniejszy możliwy iloraz tego ciągu.

 «« W ciągu (c_n) czwarty wyraz jest równy 4 oraz zachodzi równość c_{n+2}-c_{n+1}=n-3 dla każdej liczby naturalnej n.

Oblicz c_1.

«« Dany jest nieskończony ciąg określony wzorem r_n=\left(0,5\right)^n . Wyrazy tego ciągu są długościami promieni kół. Suma pól powierzchni wszystkich tych kół jest równa p\cdot \pi.

Podaj liczbę p.

 « Ciąg (a+p,b+q,10) jest arytmetyczny, zaś ciąg (10,b+q+5,2(a+p)) jest geometryczny.

Oblicz a\cdot b.

 « Oblicz granicę \lim_{n\to+\infty} \left(\frac{16n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{4n^2+2n+1}{5n^2-4}\right) .

Wyznacz rozwiązania równania \tan 2x+\tan^2 2x+\tan^3 2x+...=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3}+1), gdzie x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right)- \left\{-\frac{\pi}{4}\right\}.

Najmniejsze rozwiązanie tego równania jest równe a\cdot \pi. Podaj liczbę a.

Największe rozwiązanie tego równania jest równe b\cdot \pi. Podaj liczbę b.

 «« W ciągu arytmetycznym \left(a_n\right) zachodzi wzór S_n=-\frac{7}{4}n+\frac{1}{4}n^2, dla każdej liczby naturalnej dodatniej.

Oblicz sumę k początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

 « Ciąg (a,b,c+64+k) jest ciągiem geometrycznym, natomiast ciąg (a,b,c+k) jest ciągiem arytmetycznym. Ponadto ciąg (a,b-8,c+k) jest geometryczny.

Podaj najmniejsze możliwe c.

 Podaj największe możliwe c.

 Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=3^{17-n}, gdzie n\geqslant 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.

Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{17-2k}.
Podaj liczbę a.

 Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą liczbą całkowitą dodatnią.

Podaj liczby m i n.