Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3
Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10264 ⋅ Poprawnie: 2/5 [40%]
Rozwiąż
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
« Dany jest ciąg
(a_n) oraz ciąg
(b_n) określony następująco:
b_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n . O ciągu
(b_n) wiadomo, że spełnia warunek
b_n=\frac{(n+1)(2n+3)}{6} dla każdego
n\in\mathbb{N_{+}} .
Oblicz wyraz a_k tego ciągu.
Dane
k=14
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10265 ⋅ Poprawnie: 7/7 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Ciąg liczbowy
(a_n) określony wzorem
\begin{cases}
a_1=a \\
a_{n+1}=\frac{b}{a_n}
\end{cases}
jest:
Dane
a=\frac{1}{10}=0.10000000000000
b=2
Odpowiedzi:
A. niemonotoniczny
B. nierosnący
C. rosnący
D. malejący
Zadanie 3. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10139 ⋅ Poprawnie: 5/11 [45%]
Rozwiąż
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Ciąg
b_n=\frac{2n-8}{n+1} jest zbieżny i
\lim_{n\to\infty} b_n=2 . Nierówności
|b_n-2| \lessdot 0,02 nie spełnia
p wyrazów tego ciągu.
Wyznacz liczbę p .
Odpowiedź:
p=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 4. 2 pkt ⋅ Numer: pr-11627 ⋅ Poprawnie: 1/5 [20%]
Rozwiąż
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Granicą ciągu liczbowego
\lim_{n\to+\infty} \frac{4}{\sqrt{n^2+1}-1}
jest:
Odpowiedzi:
A. -\infty
B. 4
C. 1
D. +\infty
Zadanie 5. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10299 ⋅ Poprawnie: 3/3 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Nieskończony ciąg geometryczny
(a_n) jest określony
w następujący sposób:
\begin{cases}
a_1=\frac{7}{9} \\
a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n \text{, dla } n\in\mathbb{N_+}
\end{cases}
.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 6. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20804 ⋅ Poprawnie: 74/77 [96%]
Rozwiąż
Podpunkt 6.1 (2 pkt)
« Ciąg liczbowy
\left(a_n\right) określony jest następująco:
\begin{cases}
a_1=1 \\
a_{n+1}=a_n+0,15\text{, dla } n\in\mathbb{N_{+}}
\end{cases}
.
Oblicz sumę
s=a_{k}+a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_{l} .
Dane
k=55
l=75
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 7. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20811 ⋅ Poprawnie: 1/5 [20%]
Rozwiąż
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
« Dany jest ciąg geometryczny
(a_n) o ilorazie
q .
Oblicz najmniejszą możliwą wartość liczby q^2 .
Dane
a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=248
\frac{a_1+a_5}{a_3}=\frac{17}{4}=4.25000000000000
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Dla wyznaczonej najmniejszej wartości liczby
q^2 ,
oblicz pierwszy wyraz tego ciągu o ilorazie
|q| .
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 8. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20264 ⋅ Poprawnie: 113/103 [109%]
Rozwiąż
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
« Ciąg
(a_1,a_2,a_3) jest rosnącym ciągiem
geometrycznym oraz
a_1+a_2+a_3=42 . Ciąg
(a_1+2,a_2-10,a_3-28) jest arytmetyczny. Wyznacz
wyrazy tego ciągu.
Podaj pierwszy wyraz ciągu (a_n) .
Odpowiedź:
a_{1}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj trzeci wyraz ciągu
(a_n) .
Odpowiedź:
a_3=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 9. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20483 ⋅ Poprawnie: 24/26 [92%]
Rozwiąż
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Oblicz
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n^2+1}{3n+5}-\frac{n^2}{n-7}\right)
.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 10. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20276 ⋅ Poprawnie: 0/0
Rozwiąż
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Wyznacz rozwiązania równania
\tan 2x+\tan^2 2x+\tan^3 2x+...=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3}+1) , gdzie
x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right)-
\left\{-\frac{\pi}{4}\right\} .
Najmniejsze rozwiązanie tego równania jest równe a\cdot \pi .
Podaj liczbę a .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Największe rozwiązanie tego równania jest równe b\cdot \pi .
Podaj liczbę b .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 11. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30194 ⋅ Poprawnie: 6/7 [85%]
Rozwiąż
Podpunkt 11.1 (4 pkt)
» W ciągu arytmetycznym mamy:
a_{13}=p i
a_{30}=q . Wyznacz najmniejszą wartość
n , dla której
S_n ma
wartość najmniejszą.
Podaj n .
Dane
p=7
q=75
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 12. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30181 ⋅ Poprawnie: 5/6 [83%]
Rozwiąż
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
« Ciąg liczbowy
(a+x, b+y,c+z) jest
arytmetyczny, zaś ciąg
(a,b,c+9) jest geometrycznym
ciągiem rosnącym. Wiedząc, że
a+c=s wyznacz ten
ciąg.
Podaj a .
Dane
x=-1
y=-18
z=-35
s=36
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.2 (2 pkt)
Odpowiedź:
b=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 13. 4 pkt ⋅ Numer: pr-31010 ⋅ Poprawnie: 6/14 [42%]
Rozwiąż
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny
(a_n) , określony dla każdej
liczby naturalnej
n\geqslant 1 , którego iloraz
q
jest
6 razy mniejszy od pierwszego wyrazu ciągu i spełnia warunek
|q|\lessdot 1 . Stosunek sumy
S_{N} wszystkich
wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy
S_{P} wszystkich
wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj.
\frac{S_{N}}{S_{P}}=S_{N}-S_{P} . Wyznacz iloraz
q tego ciągu.
Podaj najmniejszą możliwą wartość q .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 13.2 (2 pkt)
Podaj największą możliwą wartość
q .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Rozwiąż