Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 Dany jest ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem a_n=4n-n^3. Wyraz a_{2k-p} tego ciągu jest równy ak^3+bk^2+ck+d.

Podaj liczby b, c i d.

 Ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem \begin{cases} a_1=a \\ a_{n+1}=\frac{b}{a_n} \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{90} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=\frac{-2n^2-3n+5}{-5+2n+n^2} dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Granica g tego ciągu jest równa:

 « Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 7.

Oblicz iloraz tego ciągu.

 « Dany jest ciąg (a_n), w którym S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n, dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}. Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi wzór: S_n=\frac{n+1}{p\cdot(n+1)+q}.

Oblicz a_2.

 Ogólny wyraz tego ciągu określony jest wzorem a_n=\frac{-1}{bn^2+cn}.

Podaj c.

 » Ciąg (a_n) określony jest wzorem a_n=\frac{n^2(2n-1)}{1+5+9+...+4n-3}.

Oblicz S_{k}.

 « Ciąg (a+p,b+q,10) jest arytmetyczny, zaś ciąg (10,b+q+5,2(a+p)) jest geometryczny.

Oblicz a\cdot b.

 Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1 wzorem a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p} gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa \frac{8}{9}.

 « Rozwiąż nierówność 1-\frac{2x+1}{2}+\frac{(2x+1)^2}{4}-...\geqslant 2 .

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału liczbowego. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Podaj prawy koniec tego przedziału.

 Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) o numerach nieparzystych jest równa 48, tj. a_1+a_3+a_5+...=48. Ponadto a_1+a_3=\frac{17}{4}\cdot a_2.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

 W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a_1, a_2, a_3), spełniona jest równość a_1+a_2+a_3=\frac{91}{9}. Wyrazy a_1, a_2, a_3 są – odpowiednio –piątym , drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego.

Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

 Oblicz a_1.

 Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=3^{21-n}, gdzie n\geqslant 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.

Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{21-2k}.
Podaj liczbę a.

 Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą liczbą całkowitą dodatnią.

Podaj liczby m i n.