Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 « Dany jest ciąg (a_n) oraz ciąg (b_n) określony następująco: b_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n. O ciągu (b_n) wiadomo, że spełnia warunek b_n=\frac{(n+1)(2n+3)}{6} dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}.

Oblicz wyraz a_k tego ciągu.

 « Ciąg liczbowy (b_n) określony wzorem \begin{cases} b_1=a \\ b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{200} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Granicą ciągu liczbowego \lim_{n\to+\infty} \frac{-4}{\sqrt{36n^2+1}-6} jest:

 « Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony w następujący sposób: \begin{cases} a_1=\frac{3}{7} \\ a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n \text{, dla } n\in\mathbb{N_+} \end{cases} .

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

 » Pierwszy wyraz ciągu (a_n) wynosi 0. Każdy z kolejnych wyrazów tego ciągu jest równy sumie numerów wszystkich wyrazów go poprzedzających. Wyznacz wzór tego ciągu.

Podaj a_{95}.

 Podaj a_{191}.

«« Dany jest nieskończony ciąg określony wzorem r_n=\left(0,5\right)^n . Wyrazy tego ciągu są długościami promieni kół. Suma pól powierzchni wszystkich tych kół jest równa p\cdot \pi.

Podaj liczbę p.

 W trzywyrazowym ciągu arytmetycznym (x,y,z) liczba z jest równa 15. Po przestawieniu wyrazów ciąg (z,x,y) jest ciągiem geometrycznym.

Podaj najmniejsze możliwe x.

 Podaj najmniejsze możliwe y.

 Podaj największe możliwe y.

 Oblicz granicę g=\lim_{n\to\infty}{\frac{(5n+2)^2+(1-2n)^2}{(2n-1)^2}}.

 Rozwiąż równanie 1+\frac{1}{1-\frac{1}{6}x}+\frac{1}{\left(1-\frac{1}{6}x\right)^2}+...=1-\frac{1}{3}x .

Podaj rozwiązanie tego równania.

« Ciąg (a_1,a_2,a_3,...,a_{100}) jest ciągiem geometrycznym, którego wszystkie wyrazy są dodatnie. Ciąg ten spełnia warunki: 100\cdot (a_2+a_4+a_6+...+a_{100})=a_1+a_3+a_5+...+a_{99} oraz \log{a_1}+\log{a_2}+\log{a_3}+...+\log{a_{100}}=100. Wyznacz a_1.

Z ilu cyfr składa się liczba a_1?

 « Ciąg (a,b,c+64+k) jest ciągiem geometrycznym, natomiast ciąg (a,b,c+k) jest ciągiem arytmetycznym. Ponadto ciąg (a,b-8,c+k) jest geometryczny.

Podaj najmniejsze możliwe c.

 Podaj największe możliwe c.

 « Funkcja f określona jest wzorem: f(x)=\frac{4(x+4)}{x+2}+\frac{4(x+4)^2}{(x+2)^2}+\frac{4(x+4)^3}{(x+2)^3}+... .

Przedział liczbowy (-\infty, p) jest dziedziną tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy (p, +\infty) jest zbiorem wartości tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy \langle p, q) jest rozwiązaniem nierówności f(x)\leqslant 0.

Podaj p.

 Podaj q.