Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 « Dany jest ciąg (a_n) oraz ciąg (b_n) określony następująco: b_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n. O ciągu (b_n) wiadomo, że spełnia warunek b_n=\frac{(n+1)(2n+3)}{6} dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}.

Oblicz wyraz a_k tego ciągu.

 Ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem \begin{cases} a_1=a \\ a_{n+1}=\frac{b}{a_n} \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{60} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=\frac{4n^2+2n-1}{-4+2n+n^2} dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Granica g tego ciągu jest równa:

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n=\frac{7}{\left(\sqrt{5}\right)^n} , dla n=1,2,3,.... Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \frac{c}{\sqrt{d}+e}, gdzie c,d,e\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby c,d i e.

 « Dany jest ciąg (a_n), w którym S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n, dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}. Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi wzór: S_n=\frac{n+1}{p\cdot(n+1)+q}.

Oblicz a_2.

 Ogólny wyraz tego ciągu określony jest wzorem a_n=\frac{-1}{bn^2+cn}.

Podaj c.

 Rozwiąż równanie 2^1\cdot 2^3\cdot 2^5\cdot ...\cdot 2^{2x+9}=64\cdot 4^{x+6} .

Podaj największe x spełniające to równanie.

 « Ciąg liczbowy (a,b+m,1) jest arytmetyczny, zaś ciąg (1,a,b+m) jest geometryczny.

Podaj najmniejsze możliwe b.

 Podaj największe możliwe b.

 Oblicz \lim_{n\to+\infty} \frac{2+5+8+...+(3\cdot(n+3)-1)}{(\sqrt{3}n+1)^2} .

 Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n\geqslant 1, jest równa 8, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 13.

Oblicz iloraz ciągu (a_n).

 « Dany jest ciąg określony wzorem a_n=(-1)^n\cdot (2n-1). Uzasadnij, że ciąg b_n=a_{2n+1} jest arytmetyczny.

Oblicz S_{k} ciągu (b_n).

 Oblicz S_{k} ciągu (a_n).

 Ciąg (x+k,4,y+2,2z) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg (x+k,x+k+2+y,8z) jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz liczby x,y,z.

Podaj najmniejsze możliwe x spełniające warunki zadania.

 Podaj największe możliwe x spełniające warunki zadania.

 Określamy kwadraty K_1, K_2, K_3,... następująco:

K_1 jest kwadratem o boku długości a,

K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:9

K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:9 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:

K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:9

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Przyjmując, że a=6, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.