Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 « Dany jest ciąg (a_n) oraz ciąg (b_n) określony następująco: b_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n. O ciągu (b_n) wiadomo, że spełnia warunek b_n=\frac{(n+1)(2n+3)}{6} dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}.

Oblicz wyraz a_k tego ciągu.

 Ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem \begin{cases} a_1=a \\ a_{n+1}=\frac{b}{a_n} \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{180} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Oblicz granicę \lim_{n\to+\infty}\frac{\left(8n^2+4n\right)^2}{12n^4-4} .

 Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie \frac{1}{\sqrt{11}}. Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie -\frac{1}{\sqrt{11}}.
Wynika stąd, że liczba x\cdot y jest równa:

 « Dany jest ciąg (a_n), w którym S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n, dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}. Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi wzór: S_n=\frac{n+1}{p\cdot(n+1)+q}.

Oblicz a_2.

 Ogólny wyraz tego ciągu określony jest wzorem a_n=\frac{-1}{bn^2+cn}.

Podaj c.

«« Dany jest nieskończony ciąg określony wzorem r_n=\left(0,5\right)^n . Wyrazy tego ciągu są długościami promieni kół. Suma pól powierzchni wszystkich tych kół jest równa p\cdot \pi.

Podaj liczbę p.

 « Ciąg (a+p,b+q,10) jest arytmetyczny, zaś ciąg (10,b+q+5,2(a+p)) jest geometryczny.

Oblicz a\cdot b.

 Oblicz \lim_{n\to+\infty} \frac{2+5+8+...+(3\cdot(n+9)-1)}{(\sqrt{9}n+1)^2} .

 Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n\geqslant 1, jest równa 6, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 10.

Oblicz iloraz ciągu (a_n).

« Ciąg (a_1,a_2,a_3,...,a_{100}) jest ciągiem geometrycznym, którego wszystkie wyrazy są dodatnie. Ciąg ten spełnia warunki: 100\cdot (a_2+a_4+a_6+...+a_{100})=a_1+a_3+a_5+...+a_{99} oraz \log{a_1}+\log{a_2}+\log{a_3}+...+\log{a_{100}}=100. Wyznacz a_1.

Z ilu cyfr składa się liczba a_1?

 Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 301. Liczby x, y oraz z są - odpowiednio – wyrazami a_1, a_2 oraz a_{8} ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1.

Oblicz x, y oraz z.
Podaj iloraz q ciągu geometrycznego.

 Podaj różnicę r ciągu arytmetycznego.

 « Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych zbieżnego ciągu geometrycznego jest równa \frac{10}{9}, zaś suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \frac{5}{9}.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

 Podaj iloraz tego ciągu.