Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 Dany jest ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem a_n=4n-n^3. Wyraz a_{2k-p} tego ciągu jest równy ak^3+bk^2+ck+d.

Podaj liczby b, c i d.

 « Ciąg liczbowy (b_n) określony wzorem \begin{cases} b_1=a \\ b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n \end{cases} jest:

 Ciąg b_n=\frac{2n-9}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} b_n=2. Nierówności |b_n-2| \lessdot 0,02 nie spełnia p wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę p.

 Oblicz granicę \lim_{n\to+\infty}\frac{\left(8n^2+4n\right)^2}{12n^4-4} .

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n=\frac{9}{\left(\sqrt{5}\right)^n} , dla n=1,2,3,.... Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \frac{c}{\sqrt{d}+e}, gdzie c,d,e\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby c,d i e.

 W chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 4 gram. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 22\% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t\geqslant 0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m(t).

Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

 Rozwiąż równanie 2^1\cdot 2^3\cdot 2^5\cdot ...\cdot 2^{2x+29}=64\cdot 4^{x+16} .

Podaj największe x spełniające to równanie.

 W trzywyrazowym ciągu arytmetycznym (x,y,z) liczba z jest równa -1. Po przestawieniu wyrazów ciąg (z,x,y) jest ciągiem geometrycznym.

Podaj najmniejsze możliwe x.

 Podaj najmniejsze możliwe y.

 Podaj największe możliwe y.

 Oblicz \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n^2+1}{3n+5}-\frac{n^2}{n-4}\right) .

 » Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego \left(a_n\right) wynosi 4, zaś suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych tego ciągu wynosi \frac{4}{5}.

Oblicz a_4.

 » Ciąg (a,b,c) jest ciągiem geometrycznym. Suma jego wyrazów wynosi s, a ich iloczyn t. Wyznacz ten ciąg.

Podaj najmniejsze możliwe a.

 Podaj największe możliwe a.

 « Ciąg (a_1,a_2,a_3) jest rosnącym ciągiem geometrycznym oraz a_1+a_2+a_3=s. Ciąg (a_1,a_2+b,a_3+c) jest arytmetyczny. Wyznacz wyrazy tego ciągu.

Podaj pierwszy wyraz ciągu (a_n).

 Podaj iloraz ciągu (a_n).

 Określamy kwadraty K_1, K_2, K_3,... następująco:

K_1 jest kwadratem o boku długości a,

K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:6

K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:6 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:

K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:6

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Przyjmując, że a=7, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.