Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3
Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10261 ⋅ Poprawnie: 3/3 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Dany jest ciąg liczbowy
(a_n) określony wzorem
a_n=4n-n^3 . Wyraz
a_{2k-p} tego ciągu
jest równy
ak^3+bk^2+ck+d .
Podaj liczby b , c i d .
Dane
p=3
Odpowiedzi:
Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10266 ⋅ Poprawnie: 5/9 [55%]
Rozwiąż
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
« Ciąg liczbowy
(b_n) określony wzorem
\begin{cases}
b_1=a \\
b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n
\end{cases}
jest:
Dane
a=-\frac{1}{6}=-0.16666666666667
b=2
Odpowiedzi:
A. niemonotoniczny
B. nierosnący
C. malejący
D. rosnący
Zadanie 3. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10139 ⋅ Poprawnie: 5/9 [55%]
Rozwiąż
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Ciąg
b_n=\frac{2n-5}{n+1} jest zbieżny i
\lim_{n\to\infty} b_n=2 . Nierówności
|b_n-2| \lessdot 0,02 nie spełnia
p wyrazów tego ciągu.
Wyznacz liczbę p .
Odpowiedź:
p=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 4. 1 pkt ⋅ Numer: pr-11653 ⋅ Poprawnie: 3/3 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Ciąg
(a_n) jest określony wzorem
a_n=\frac{-5n^2-2n-5}{-2+3n+4n^2} dla
każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 .
Granica g tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi:
A. \frac{5}{12}
B. -\frac{15}{8}
C. -\frac{5}{3}
D. \frac{5}{6}
E. -\frac{5}{4}
F. -\frac{5}{6}
Zadanie 5. 1 pkt ⋅ Numer: pr-11639 ⋅ Poprawnie: 1/3 [33%]
Rozwiąż
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Liczba
x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
o pierwszym wyrazie równym
1 i ilorazie
\frac{1}{\sqrt{2}} .
Liczba
y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
o pierwszym wyrazie równym
1 i ilorazie
-\frac{1}{\sqrt{2}} .
Wynika stąd, że liczba
x+y jest równa:
Odpowiedzi:
A. 10
B. 4
C. 8
D. \frac{8}{3}
E. 2
F. 3\sqrt{2}
Zadanie 6. 3 pkt ⋅ Numer: pr-21203 ⋅ Poprawnie: 2/5 [40%]
Rozwiąż
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Pierwszy wyraz ciągu
(a_n) , określonego dla
n\geqslant 1 ,
jest równy
1 . Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek
a_n=2a_{n+1}+3n^2+1 .
Oblicz a_3 .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 7. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20811 ⋅ Poprawnie: 1/4 [25%]
Rozwiąż
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
« Dany jest ciąg geometryczny
(a_n) o ilorazie
q .
Oblicz najmniejszą możliwą wartość liczby q^2 .
Dane
a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=186
\frac{a_1+a_5}{a_3}=\frac{17}{4}=4.25000000000000
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Dla wyznaczonej najmniejszej wartości liczby
q^2 ,
oblicz pierwszy wyraz tego ciągu o ilorazie
|q| .
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 8. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20264 ⋅ Poprawnie: 27/27 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
« Ciąg
(a_1,a_2,a_3) jest rosnącym ciągiem
geometrycznym oraz
a_1+a_2+a_3=28 . Ciąg
(a_1+2,a_2-4,a_3-14) jest arytmetyczny. Wyznacz
wyrazy tego ciągu.
Podaj pierwszy wyraz ciągu (a_n) .
Odpowiedź:
a_{1}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj trzeci wyraz ciągu
(a_n) .
Odpowiedź:
a_3=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 9. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20822 ⋅ Poprawnie: 2/2 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Oblicz
\lim_{n\to+\infty} \frac{2+5+8+...+(3\cdot(n+6)-1)}{(\sqrt{6}n+1)^2}
.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 10. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20835 ⋅ Poprawnie: 10/15 [66%]
Rozwiąż
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Rozwiąż równanie
1+\frac{1}{1+\frac{1}{6}x}+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{6}x\right)^2}+...=1+\frac{1}{3}x
.
Podaj rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Zadanie 11. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30194 ⋅ Poprawnie: 6/7 [85%]
Rozwiąż
Podpunkt 11.1 (4 pkt)
» W ciągu arytmetycznym mamy:
a_{13}=p i
a_{30}=q . Wyznacz najmniejszą wartość
n , dla której
S_n ma
wartość najmniejszą.
Podaj n .
Dane
p=1
q=69
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 12. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30184 ⋅ Poprawnie: 1/4 [25%]
Rozwiąż
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
« Ciąg
(a,b,c+64+k) jest ciągiem geometrycznym,
natomiast ciąg
(a,b,c+k) jest ciągiem arytmetycznym.
Ponadto ciąg
(a,b-8,c+k) jest geometryczny.
Podaj najmniejsze możliwe c .
Dane
k=-64
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 12.2 (2 pkt)
Podaj największe możliwe
c .
Odpowiedź:
c_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 13. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30883 ⋅ Poprawnie: 13/50 [26%]
Rozwiąż
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
2(2x-11)-\frac{6(2x-11)}{2x-12}+\frac{18(2x-11)}{(2x-12)^2}-\frac{54(2x-11)}{(2x-12)^3}+... .
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od \frac{11}{2}
i od 6 ), dla których suma tego szeregu istnieje.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców
liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedzi:
Podpunkt 13.2 (2 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej
x , dla których suma tego szeregu istnieje
i jest równa
\frac{15}{2} .
Podaj największe takie x .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Rozwiąż