Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-3

 Dany jest ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem a_n=4n-n^3. Wyraz a_{2k-p} tego ciągu jest równy ak^3+bk^2+ck+d.

Podaj liczby b, c i d.

 « Ciąg liczbowy (b_n) określony wzorem \begin{cases} b_1=a \\ b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{90} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Granicą ciągu liczbowego \lim_{n\to+\infty} \frac{-1}{\sqrt{n^2+1}-1} jest:

 « Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony w następujący sposób: \begin{cases} a_1=\frac{2}{3} \\ a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n \text{, dla } n\in\mathbb{N_+} \end{cases} .

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

 « Dany jest ciąg (a_n), w którym S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n, dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}. Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi wzór: S_n=n^2(n+k).

Oblicz a_3.

 Pewien wyraz ciagu (a_n) jest równy m.

Wyznacz numer tego wyrazu.

 «« Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez a lub przez b.

 W trzywyrazowym ciągu arytmetycznym (x,y,z) liczba z jest równa -15. Po przestawieniu wyrazów ciąg (z,x,y) jest ciągiem geometrycznym.

Podaj najmniejsze możliwe x.

 Podaj najmniejsze możliwe y.

 Podaj największe możliwe y.

 Oblicz \lim_{n\to+\infty} \frac{1+5+9+...+(4n-3)}{3+(3+7)+(3+14)+...+3+(7n-7)} .

Wyznacz rozwiązania równania \tan 2x+\tan^2 2x+\tan^3 2x+...=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3}+1), gdzie x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right)- \left\{-\frac{\pi}{4}\right\}.

Najmniejsze rozwiązanie tego równania jest równe a\cdot \pi. Podaj liczbę a.

Największe rozwiązanie tego równania jest równe b\cdot \pi. Podaj liczbę b.

 Boki AB, BC, CD i DA czworokąta wpisanego w okrąg mają długości odpowiednio 2a, 2a, a\sqrt{5} i a\sqrt{3}, zaś kąty przy wierzchołkach A, B i C tworzą ciąg arytmetyczny.

Oblicz pole powierzchni tego czworokąta.

 W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a_1, a_2, a_3), spełniona jest równość a_1+a_2+a_3=\frac{52}{9}. Wyrazy a_1, a_2, a_3 są – odpowiednio –piątym , drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego.

Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

 Oblicz a_1.

 « Funkcja f określona jest wzorem: f(x)=\frac{2(x-1)}{x-3}+\frac{2(x-1)^2}{(x-3)^2}+\frac{2(x-1)^3}{(x-3)^3}+... .

Przedział liczbowy (-\infty, p) jest dziedziną tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy (p, +\infty) jest zbiorem wartości tej funkcji. Podaj p.

 Przedział liczbowy \langle p, q) jest rozwiązaniem nierówności f(x)\leqslant 0.

Podaj p.

 Podaj q.