Podgląd arkusza : lo2@am-2-2023-03-19-pr

 Liczba c=\log_{a}{b}. Wtedy:

 Dziedziną funkcji f(x)=\frac{x}{\sqrt{64+x^2}}+(2-x)^2 jest:

 Wyznacz miejsce zerowe funkcji określonej wzorem h(x)=\frac{a}{x-\frac{1}{2}}-b .

 Wektory \vec{u}=[m-n+9,-m-7] oraz \vec{v}=[m+n+9, n+4] są przeciwne.

Wyznacz wartości parametrów m i n.

 « Wiadomo, że kąt \alpha jest ostry. Oblicz wartość wyrażenia \sin\alpha+\cos\alpha i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie a,b,c\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby a, b i c.

 Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{1-x}{-5x}, a wykres funkcji g otrzymano przez symetrię wykresu funkcji f względem osi Ox. Zapisz wzór funkcji g w postaci g(x)=\frac{ax+b}{x}.

Wyznacz liczby a i b.

 Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=-3(x+2)^2-3.

Wyznacz największą wartość funkcji określonej wzorem h(x)=f(x-6)+1.

 » Dane są funkcje: f(x)=x^2+\frac{\sqrt{3}}{2} i g(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Wówczas, zachodzi warunek:

 « Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f(x)=-x^2+bx+c jest punkt o współrzędnych (-8,2).

Wyznacz współczynniki b i c.

 Punkt O jest środkiem okręgu, przy czym \alpha=139^{\circ}:

Wyznacz miarę stopniową kąta \beta.

 » Wyznacz zbiór tych wartości x, które spełniają obie nierówności: 9x+8-18a > 7x+10-14a \quad\wedge\quad 8a+19-4x \lessdot 3x-2-6a .

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 (2 pkt) W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków: |AC|=|BC|=90 i |AB|=108. Na przedłużeniu boku AB zaznaczono taki punkt D, że |DB|=189. Przez punkt A poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która przecięła odcinek DC w punkcie E (zobacz rysunek):

Oblicz |DE|.

 « Kąty \alpha i \beta są kątami ostrymi w pewnym trójkącie prostokątnym oraz \sin\alpha+\sin\beta=p.

Oblicz \sin\alpha\cdot \sin\beta.

» Powierzchnia prostokąta P wynosi 6000 m². Prostokąt Q ma wymiary o 10 m i 15 m większe od wymiarów prostokąta P oraz pole powierzchni większe o 2250 m².

Podaj najmniejszą możliwą długość boku prostokąta P.

Podaj największą możliwą długość boku prostokąta P.

Ile rozwiązań ma to zadanie?

 Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość a, a jego ramię długość c.

Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

 » Pan Kowalski złożył w banku swoje oszczędności na lokacie rocznej oprocentowanej w kwocie p_1\%, a pan Nowak w innym banku na lokacie oprocentowanej w wysokości p_2\%. Wspólnie wpłacili łączną kwotę w wysokości 10000 zł, a odsetki wypłacone po roku z obu lokat wynosiły o.

Ile była równa mniejsza z kwot wpłaconych do banku?

 Ile była równa większa z kwot wpłaconych do banku?

 Przeprowadź dyskusję rozwiązalności układu równań w zależności od wartości parametru a: \begin{cases} 4ax+2y=-1 \\ 8x+4ay=4a+6 \end{cases} .

Podaj wartość parametru a, dla której układ ten jest sprzeczny.

 Podaj wartość parametru a, dla której układ ten jest nieoznaczony.

 Jeśli układ jest oznaczony, to jego rozwiązaniem jest para liczb postaci \left(\frac{k}{ma+n},y\right), gdzie k,m,n,\in\mathbb{Z} i n< 0.

Podaj liczby m i n.

 « Rozwiąż nierówność x^2-2ax+a^2+c \leqslant -b|x-a| .

Podaj najmniejsze rozwiązanie tej nierówności.

 Podaj największe rozwiązanie tej nierówności.

 « Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie 2x^2-(2m+2a-1)x-m-a=0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek |x_1-x_2|=3.

Podaj najmniejsze możliwe m spełniające warunki zadania.

 Podaj największe możliwe m spełniające warunki zadania.

 Dany jest trójkąt:

Oblicz |CD|.

 Oblicz |DB|.