Podgląd arkusza : lo2@am-2-2023-04-23-pr

 Oblicz wartość wyrażenia w=\log_{6}{6}-\log_{6}{36} .

Przedstawiony na rysunku wykres może być wykresem funkcji:

 « Odcinki DE i AB są równoległe, przy czym |DE|=\frac{1}{4} i |AB|=\frac{7}{12}:

Oblicz x.

 « Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{-1-x}{-4x}, a wykres funkcji g otrzymano przez symetrię wykresu funkcji f względem osi Oy. Zapisz wzór funkcji g w postaci g(x)=\frac{ax+b}{x}.

Wyznacz liczby a i b.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej f:

Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu:

 » Kąt \alpha wpisany w okrąg o promieniu długości 27 oparty jest na łuku o długości 3\pi.

Wyznacz miarę tego kąta.

 Ile razy miara główna kąta skierowanego o mierze 1465^{\circ} jest większa od miary głównej kąta skierowanego o mierze -1265^{\circ}?

 « Punkty o współrzędnych A=(-6,-2) i C=(-12,6) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, na którym opisano okrąg. Zapisz długość promienia tego okręgu w najprostszej postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie a,b,c\in\mathbb{N}.

Podaj liczby a, b i c.

 Do wykresu proporcjonalności prostej należy punkt A=(3,-6). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem punktu O(0,0), punkt C ma współrzędne C=(3,0), zaś kąt BOC ma miarę \alpha.

Oblicz \tan\alpha.

 « Nierówność 9x^2-30x+y^2+8y-8\leqslant 0 opisuje:

 «Proste określone równaniami y=mx+n i \frac{5}{6}x+\frac{5}{4}y+4=0 są prostopadłe.

Wyznacz m.

 » Rozwiąż równanie z niewiadomą x: 4x(-7x-14)-(x-8)(-7x-14)=0 .

Podaj najmniejsze z rozwiązań tego równania.

 Podaj największe z rozwiązań tego równania.

 » Oblicz miejsce zerowe funkcji f(x)= \begin{cases} 6+2x \text{, dla } x\leqslant 2 \\ x \text{, dla } x > 2 \end{cases} .

 Miejscami zerowymi funkcji f(x)=-\frac{1}{2}x^2+bx+c są liczby -2 i 3. Naszkicuj wykres funkcji f.

Oblicz c.

 Wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji g(x)=x+2 wtedy i tylko wtedy, gdy x\in(p, q).

Podaj p.

 Podaj q.

 « W kole o promieniu r narysowano cięciwę okręgu tego koła oddaloną od środka koła o d. Cięciwa podzieliła koło na dwie części.

Oblicz pole powierzchni mniejszej z tych cześci.

» Punkty A=(3p^2+6p+4, 3-m) oraz B=(p+2,2m-1) są symetryczne względem osi Ox.

Podaj m.

Podaj największe możliwe p.

 Rozwiąż nierówność 1\leqslant \left||x+4|-3\right|\leqslant 5 .

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj sumę wszystkich pozostałych końców tych przedziałów.

 « Zbadaj liczbę pierwiastków równania x^2+2x+|x^2+2x|+1=4(m-a)^2 w zależności od wartości parametru m\in\mathbb{R}.

Podaj najmniejsze możliwe m, dla którego równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

 Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa rozwiązania?

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

« Punkt P=(x,y) należy do końcowego ramienia kąta skierowanego \alpha i do czwartej ćwiartki układu współrzędnych. Jego odległość od początku układu współrzędnych wynosi 25, zaś \tan\alpha=-\frac{7}{24}.

Oblicz sumę współrzędnych punktu P.

 » Prosta o równaniu \left(m+\frac{13}{2}\right)x+\left(m+\frac{21}{2}\right)y-5=0 przecina prostą o równaniu (2m+15)x-(2m+13)y-20=0 w punkcie P=(x_0,0).

Podaj najmniejsze możliwe m.

 Podaj największe możliwe m.

 » Okrąg o:x^2+y^2+ax+by+c=0 ma środek w punkcie S=(-6,0) i przechodzi przez punkt A=(0,6).

Podaj b.

 Podaj c.

 « Punkt S=(-5,3) jest środkiem okręgu o promieniu długości \sqrt{5}, a proste x-2y+c_1=0 i x+y+c_2=0 są styczne do tego okręgu.

Podaj najmniejsze możliwe c_2.

 Podaj największe możliwe c_1.