Podgląd arkusza : lo2@am-3-2022-09-11-pr

 « Zapisz połowę sumy 4^{31}+4^{31}+4^{31}+4^{31} w postaci potęgi p^k, gdzie p,k\in\mathbb{Z} i p jest liczbą pierwszą.

Podaj wykładnik k.

 Które z poniższych wzorów opisują funkcję malejącą?

 Wyznacz wartości parametrów m i n tak, aby pary liczb \left(-\frac{21}{4},m+12\right) i (n-8,0) spełniały równanie \frac{1}{5}x-\frac{2}{5}y=-\frac{18}{5}.

Podaj liczby m i n.

 Różnica liczby boków dwóch wielokątów jest równa jeden, a różnica ilości ich przekątnych jest równa 18 boków.

Ile boków ma wielokąt o mniejszej liczbie boków?

 Wykres funkcji g(x)=|x+5|+6 można otrzymać przesuwając wykres funkcji f(x)=|x| o wektor \vec{u}=[p,q].

Podaj współrzędne wektora p i q.

 « Zapisz wyrażenie \sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}} w najprostszej postaci a+b\sqrt{c}, gdzie a,b,c\in\mathbb{Z}.

 Prosta o równaniu y+2m=0 ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=-\frac{1}{2}x^2-6x+8.

Wyznacz wartość parametru m.

 Oblicz korzystając z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta \alpha o mierze 315^{\circ}. Podaj \cos\alpha.

 Podaj \cot\alpha.

 Proste k:y=\frac{6}{m-3}x+m-2 oraz l:y=2mx+\frac{1}{m+1} spełniają warunek k\perp l.

Wyznacz m.

 Wielomian W(x)=25x^3+ax^2+64x ma pierwiastek dwukrotny.

Wyznacz dodatnią wartość parametru a.

 «« W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na koniec roku była o 84\% mniejsza niż na początku. W drugim roku wzrosła i ukończyło go 60\% więcej uczniów niż pierwszy.

O ile procent, w stosunku do liczby uczniów kończących drugi rok, zmieniła się (wzrosła lub zmalała) ich liczba w następnym roku, jeśli na koniec trzeciego roku było tyle samo uczniów co na początku pierwszego?
Wynik zaokrąglij do 0,1% i wpisz go bez jednostki.

 Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, z których jeden jest o 18 krótszy od tej wysokości, a drugi o 21 od niej dłuższy.

Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

 Oblicz długość najkrótszej wysokości tego trójkąta.

 Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=a(x-p)^2+q dla argumentu 2 osiąga wartość najmniejszą równą 11. Wiedząc, że do jej wykresu należy punkt należy punkt A=(3,16), wyznacz wzór tej funkcji.

Podaj współczynnik a.

 Podaj liczby p i q.

 » Prosta o równaniu y=ax+b przechodzi przez punkt P=(7,4) i jest nachylona do osi Ox pod kątem o mierze 120^{\circ}.

Podaj a.

 Podaj b.

 Wielomian W(x)=x^3+ax^2+bx+1 dla argumentu 2 przyjmuje wartość 9 oraz przy dzieleniu przez dwumian x-3 daje resztę 22.

Podaj a.

 Podaj b.

 « Dana jest nierówność \log_{3x}{3x^m}+\log_{3x}{ax} \lessdot 3 .

Ile liczb naturalnych spełnia tę nierówność?

 «« Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie 4x^2+(-4m+4a+2)x+m^2-(2a+1)m+a^2+a-2=0 ma dwa rozwiązania.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

 Wyznacz zbiór tych wartości parametru m, dla których równanie to ma dwa rozwiązania dodatnie.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

 Wyznacz zbiór tych wartości parametru m, dla których równanie to ma dwa rozwiązania dodatnie spełniające nierówność x_1^2+x_2^2\leqslant \frac{17}{4}.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

 « Kąt \alpha jest kątem rozwartym oraz spełnia warunek \sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{5}.

Oblicz wartość wyrażenia \sin\alpha-\cos\alpha.

 Oblicz wartość \sin\alpha.

 Oblicz wartość \cos\alpha.

 W trójkącie ABC dane są: wierzchołki A=(8,5) i B=(11,9), równanie boku BC:x+2y-29=0 i równanie środkowej AD:5x-y-35=0. Wysokość tego trójkąta CE opisana jest równaniem y=ax+b.

Podaj a.

 Podaj b.

 » Wielomian Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d dla argumentu 0 przyjmuje wartość -160. Liczba x_1=5 jest jego pierwiastkiem, zaś liczba x_2=4 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu Q(x).

Wyznacz b.

 

Podaj c.