Podgląd arkusza : lo2@am-3-2022-10-02-pp

 Dane są liczby: a=\frac{4+\sqrt{15}}{2} i b=\frac{4-\sqrt{15}}{4}. Oblicz \frac{b}{a}.

 Zbiór liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji:

 Zbiorem wartości funkcji określonej wzorem f(x)=\frac{4}{x} jest:

 Zielone odcinki na rysunku sa równoległe, przy czym |AD|=1, |DE|=\frac{1}{6} i |AB|=\frac{1}{4}:

Oblicz długość odcinka DC.

 Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f określonej wzorem f(x)=6\sqrt{x}-8 względem początku układu współrzędnych. Zapisz wzór funkcji g w postaci g(x)=a\sqrt{bx}+c.

Podaj liczby a i b.

 Prosta o równaniu x=mjest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=(-1+3x)(x+3).

Wyznacz m.

 (1 pkt) Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku w punkcie S i promieniu r o długości 14. Na przedłużeniu półprostej AB^{\rightarrow} zaznaczono punkt D taki, że odcinek BD ma długość równą promieniowi okręgu, a następnie przez punkt D poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie C: Wówczas cięciwa AC ma długość:

 Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=ax+b należy punkt P=\left(3\sqrt{11},5\right), a jej wykres jest prostą równoleglą do prostej o równaniu y=-\sqrt{11}x-1.

Wyznacz współczynnik a.

 Wyznacz współczynnik b.

 « Zapisz wyrażenie (4x-5)^3 w postaci a_1x^3+b_1x^2+c_1x+d_1.

Podaj liczby b_1 i c_1.

 «« Równanie \frac{x^2+a}{x}=2b ma dwa różne pierwiastki dla każdego a należącego do pewnego zbioru.

Zbiór ten ma postać:

 Zapisz ten zbiór w postaco sumt przedziałów.

Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Ułamek nieskracalny \frac{m}{n} jest równy liczbie 0,(39).

Podaj m.

 Podaj n.

 « Liczba b spełnia równanie (b+2-\sqrt{2})^2-(b+2-2\sqrt{2})^2=-6.

Podaj miejsce zerowe funkcji określonej wzorem f(x)=-3x+b.

 «Wyznacz wartości parametrów a i b, dla których rozwiązaniem układu równań \begin{cases} (a+2b+20)x-(b+6)y=6 \\ 5x-(a+b+14)y=2a+16 \end{cases} jest para liczb (2,2).

Podaj a.

 Podaj b.

 » Oblicz \tan\alpha wiedząc, że a\sin^2\alpha+b\cos^2\alpha=c i \alpha\in(0^{\circ},90^{\circ}).

 » Dla jakich wartości parametru m funkcja y=-x^2+12x+m-a nie ma miejsc zerowych?

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj prawy koniec tego przedziału.

 (1 pkt) Punkt O jest środkiem, a odcinek AC średnicą okręgu na rysunku. W okrąg ten wpisano kąt ABC, a następnie odcinek BC przedłużono do takiego punktu D, że |BC|=|CD|.

Wiedząc, że kąt BOD jest prosty, oblicz pole powierzchni trójkąta ABO.

 (1 pkt) Łuk, na którym oparty jest mniejszy z kątów środkowych okręgu AOE, ma długość p\cdot\pi.

Wyznacz liczbę p.

 Okrąg o środku S=(x_S,y_S) przechodzi przez punkty A=(-1,4), B=(1,10) i C=(-9,16).

Podaj x_S.

 Podaj y_S.

 Dwa boki trójkąta mają długość 8 i 30, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość \frac{65}{4}. Pole powierzcni tego trójkąta jest równe 96.

Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.

 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

 « Wielomian W(x)=x^3-2x^2+mx+6 przy dzieleniu przez dwumian x+3 daje resztę -\frac{105}{2}.

Oblicz wartość parametru m.

 «« Miasta A i B sa oddalone od siebie o S kilometrów. Z miasta A wyjechał pociąg w kierunku miasta B. Po q godzinach z miasta B wyjechał pociąg jadący w kierunku miasta A po tej samej trasie i jechał z prędkością o p km/h większą. Oba pociągi minęły się w połowie trasy.

Jaka była prędkość pociągu jadącego z miasta A?