Podgląd arkusza : lo2@am-3-2022-11-13-pr

 Oblicz wartość wyrażenia \frac{5\cdot 5^{101}+4\cdot 5^{102}}{5^{100}} .

 Funkcja f opisana jest wzorem: f(x)=\frac{4}{9}x+3. Jeśli argument funkcji f wzrośnie o 5, to wartość tej funkcji:

 « Na rysunku pokazano wykres funkcji f:

Wynzacz ilość takich punktów wykresu funkcji f, których obie współrzędne należą do zbioru \mathbb{Z}.

 W trójkącie ABC połączono środki trzech boków i otrzymano trójkąt PQR o obwodzie o \frac{11}{6} mniejszym od obwodu trójkąta ABC.

Oblicz obwód trójkąta ABC.

 « Wyznacz wszystkie wartości parametru k\in\mathbb{R}, dla których równanie |k+1|x=4x+k+1 o niewiadomej x jest tożsamościowe.

Podaj najmniejsze i największe możliwe k.

 Wykres funkcji kwadratowej f(x)=-4(x+5)^2-10 ma dwa punkty wspólne z prostą:

 Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokatnym ma długość 4\sqrt{2}. Kąt przy wierzchołku A tego trójkąta jest prosty, a jego środkowe przecinają się w punkcie S.

Oblicz długość odcinka AS.

 « Wykresy funkcji f(x)=2a+x i g(x)=-6x-8 przecinają oś Ox w dwóch różnych punktach.

Jaką liczbą nie może być a?

 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y=f(x), której dziedziną jest zbiór D=\mathbb{R}-\{3\}.

Równanie |f(x)|=p-4 z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy:

 « Wyznacz najmniejszy dodatni wyraz ciągu określonego wzorem a_n=7n-p.

 » Zapisz liczbę 2^{13}+10\cdot 2^{12}-3\cdot 2^{11} w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Podaj najmniejszą z tych liczb pierwszych.

 Podaj ilość czynników pierwszych występujących w rozkładzie na czynniki pierwsze (np. dla liczby 8 poprawną odpowiedzią jest 3).

Punkty A=(-1,8) oraz B=(2,4) dzielą odcinek MN na trzy równe części i są położone na odcinku w kolejności M, A, B i N. Wyznacz końce tego odcinka.

Podaj sumę współrzędnych punktu M=(x_M,y_M).

Podaj sumę współrzędnych punktu N=(x_N,y_N).

 » Wykres funkcji f(x)=-2x^2 przesunięto o p=3 jednostek wzdłuż osi Ox oraz o q=6 jednostek wzdłuż osi Oy i otrzymano wykres funkcji g. Rozwiąż nierówność g(x)+5 \lessdot 3x.

Jaka jest najmniejsza liczba, która nie spełnia tej nierówności?

 Wyznacz ZW_g.

Odpowiedź zapisz w postaci przedziału. Podaj prawy koniec tego przedziału.

 Funkcja g określona jest wzorem g(x)=-2x^2+bx+c.

Podaj b\cdot c.

 « Wielomian W(x)= -2x^4+3x^3-3x^2-9x+5 jest podzielny przez dwumian P(x)=-2x+1, a wynikiem tego dzielenia jest wielomian Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

Wyznacz współczynniki a i b

 Wyznacz współczynniki c i d

 » W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n\geqslant 1, dane są: wyraz a_1=-9 oraz a_2+a_3=-36.

Oblicz różnicę a_{18}-a_{15}.

 Rozwiąż równanie \sqrt{3x-5}-\sqrt{x-3}=2 .

Podaj najmniejsze z rozwiązań tego równania.

 Podaj największe z rozwiązań tego równania.

 « Dana jest funkcja f(x)=\sqrt{1-\cos^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)} , gdzie x\in(-\pi,\pi). Narysuj wykres funkcji f. Na podstawie wykresu ustal dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=\frac{m-3}{2} ma co najmniej jedno rozwiązanie należące do przedziału \left\langle -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right\rangle?

Podaj najmniejsze możliwe m spełniające warunki zadania.

 Podaj największe możliwe m spełniające warunki zadania.

 « Nierówność (x^2+(+6p-7q)x-7p+8q)(x-8)(x+8)\geqslant 0 jest tożsamościowa w zbiorze \mathbb{R}.

Podaj p.

 Podaj q.

 Dana jest funkcja g(x)=\frac{x^3+(m-9)x^2+(-6m+31)x+9m-27}{x-5} , której miejscem zerowym jest liczba 9.

Podaj m.

 Wyznacz pozostałe miejsca zerowe tej funkcji.

Podaj największe z miejsc zerowych, różnych od 9.

 « Dany jest ciąg (a_n), w którym S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n, dla każdego n\in\mathbb{N_{+}}. Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi wzór: S_n=\frac{n+1}{p\cdot(n+1)+q}.

Oblicz a_2.

 Ogólny wyraz tego ciągu określony jest wzorem a_n=\frac{-1}{bn^2+cn}.

Podaj c.