Podgląd arkusza : lo2@am-3-2023-04-23-pr

 Równanie \frac{x^2+9x}{x^2-81}=0 :

 Funkcje określone wzorami f(x)=-\frac{5}{4}x+5 i g(x)=\frac{1}{2}x+2 przyjmują równą wartość dla argumentu x_0.

Wyznacz x_0.

 Kąt \alpha jest kątem ostrym.

Oblicz wartość wyrażenia \sin^4 \alpha+\cos^4 \alpha.

 « Rzucono pionowo do góry kamień z prędkością początkową 10\ m/s. Wysokość s\ [m], jaką osiągnie ten kamień po t sekundach czasu opisuje wzór s(t)=4t-2t^2.

Podaj maksymalną wysokość jaką osiągnie ten kamień.

 Punkty o współrzędnych K=(10,8) oraz L=(3,-5) są środkami dwóch sąsiednich boków kwadratu.

Oblicz pole powierzchni tego kwadratu.

 « Ogólny wyraz ciągu określony jest wzorem a_n=7(\sqrt[3]{3})^{n+a}, przy czym n jest liczbą co najwyżej dwucyfrową.

Wyznacz ilość wyrazów wymiernych tego ciągu.

 Liczba naturalna czterocyfrowa k spełnia nierówność k \lessdot 8272 i została zapisana za pomocą cyfr ze zbioru \{3,5,7,9\} w taki sposób, że wszystkie jej cyfry są różne.

Ile jest takich liczb?

 « W równoległoboku przekątne mają długości d i e, zaś kąt między przekątnymi ma miarę 60^{\circ}.

Oblicz pole powierzchni tego równoległoboku.

 « Oblicz granicę \lim_{x\to 0^{+}} \frac{6-x^2}{x^3-6x} .

Jako odpowiedź wpisz:

• 999, jeżeli granica jest równa +\infty,
• -999, jeżeli granica jest równa -\infty,
• obliczoną granicę w każdym innym przypadku.

 Oblicz granicę \lim_{x\to +\infty} \left(5x^7+\frac{1}{2}x^6-3x+2\right) .

Jako odpowiedź wpisz:

• 999, jeżeli granica jest równa +\infty,
• -999, jeżeli granica jest równa -\infty,
• obliczoną granicę w każdym innym przypadku.

 Oblicz pochodną funkcji określonej wzorem f(x)=5\sqrt{x}+3x^4.

Podaj f'(2).

« Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y=f(x) określonej dla x\in\langle -7,8\rangle.

Podaj największą wartość tej funkcji.

Odczytaj zbiór rozwiązań nierówności f(x) \lessdot 0. Podaj liczbę środkową tego zbioru.

 » W okręgu o środku O poprowadzono cięciwę AB nie przechodzącą przez środek okręgu. Na cięciwie wybrano punkt C w taki sposób, że AB nie jest prostopadłe do CO:

Oblicz długość promienia tego okręgu.

 « Pan Kozłowski złożył do banku kwotę k zł, na procent prosty, w którym odsetki nie podlegają oprocentowaniu. Po upływie pierwszego i każdego następnego roku (oprócz końca roku ostatniego) wpłacał kwotę d zł. Przez cały okres oszczędzania oprocentowanie w banku było stałe i wynosiło p\% w stosunku rocznym.

Oblicz wartość tej lokaty po n latach (przed opodatkowaniem, po n-tym roku pan Kozłowski nie dopłacił kwoty d zł, tylko wybrał z banku pieniądze na lokacie).

 « W trapezie na rysunku dane są: |AD|=120, |CD|=160 i |BC|=150:

Oblicz obwód tego trapezu:

 Cięciwy AB i CD okręgu o promieniu 20 są równoległe i leżą po tej samej stronie środka okręgu. Odległość dłuższej z cięciw od środka okręgu wynosi x, a odległość między tymi cięciwami wynosi y.

Oblicz pole trapezu ABCD.

 Dziedziną funkcji f jest przedział liczbowy (-9,9), a jej jedynym miejscem zerowym liczba -\frac{5}{2}. Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f\left(\frac{5}{3}x\right).
Dziedziną funkcji g jest zbiór D_g=(x_1,x_2).

Podaj liczby x_1 i x_2.

 Podaj miejsce zerowe funkcji g.

« AM i CN są dwusiecznymi kątów \alpha i \gamma w trójkącie ABC. Dwusieczne te przecinają się w punkcie S. Wiedząc, że na czworokącie NBMS można opisać okrąg oblicz \frac{\alpha+\gamma}{2}.

Podaj obliczoną miarę stopniową.

 «« W ciągu (c_n) czwarty wyraz jest równy 4 oraz zachodzi równość c_{n+2}-c_{n+1}=n+3 dla każdej liczby naturalnej n.

Oblicz c_1.

 Iloczyn wszystkich cyfr występujących w k=15 znakowym rozwinięciu dziesiętnym liczby naturalnej jest równy 24.

Ile jest liczb spełniajcych te warunki, w których nie występuje cyfra 2?

 Ile jest wszystkich takich liczb?

 « Czworokąt na rysunku jest równoległobokiem:

Oblicz jego pole powierzchni.

Dana jest funkcja f(x)=\frac{2x^4+15}{6-x^2}. Oblicz f'(1).

Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

 Oblicz pochodną funkcji określonej wzorem f(x)=\frac{3}{4x+1}.

Podaj f'\left(\sqrt{2}\right).

 Dana jest funkcja określona wzorem g(x)=x^4+2. Prosta y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji g i jest równoległa do prostej o równaniu y=4x-4.

Podaj b.