Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
funkcja kwadratowa
wzory Viete'a
równania kwadratowe z parametrem
nierówności kwadratowe z parametrem
pierwiastki równania
suma i iloczyn pierwiastków równania
wyrażenia z pierwiastkami równań kwadratowych
Zadanie 1.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20873
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
(2 pkt)
Dana jest funkcja określona wzorem y=\frac{9}{x^2},
dla każdego x\in\mathbb{R}-\{0\}, której wykres pokazano
na rysunku, oraz punkt A=(6, -1):
Pozioma prosta przecina wykres tej funkcji w punktach o współrzędych
B=(x_0, y_0) oraz C=(-x_0,y_0)
gdzie x_0 > 0 i y_0 > 0.
Znajdź najmniejsze x_0\in(5;+\infty), dla którego
P_{\triangle ABC}\geqslant 10.
Odpowiedź:
x_0=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
(1 pkt)
Wyznacz największą liczbę nieujemną m o tej własności,
że dla dowolnego x_0\in(0,+\infty) prawdziwa jest nierówność
P_{\triangle ABC}\geqslant m.
Odpowiedź:
m=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 2.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20997
Podpunkt 2.1 (0.4 pkt)
«« Dla jakich wartości parametru m\in\mathbb{R} równanie
2x^2-4(m+7)x+(m+8)(m+7)=0 ma dwa rozwiązania spełniające warunek
x_1 \lessdot m+1 \lessdot x_2?
Rozwiązaniem jest zbiór postaci:
Odpowiedzi:
A.(p, +\infty)
B.(-\infty, +\infty)
C.(-\infty, p)\cup(q, +\infty)
D.(-\infty, p\rangle
E.(-\infty, p)
F.(p, q)
G.\langle p, q)
H.(p, q\rangle
Podpunkt 2.2 (0.8 pkt)
Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
min=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 2.3 (0.8 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 4.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30036
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
«« Wyznacz te wartości parametru m, dla których
równanie 4x^2-(m+a)x+1=0 ma dwa różne pierwiastki
takie, że ich różnica jest liczbą z przedziału (0,4).
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców
liczbowych tych przedziałów.
Dane
a=4
Odpowiedź:
min=+\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 4.2 (1 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=+\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 4.3 (1 pkt)
Podaj najmniejszy z końców liczbowych, który jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
min_Z=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 5.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30031
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
« Wyznacz te wartości parametru m, dla których
równanie (m+a)x^2-(3m+3a-3)x+m+a=0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten koniec tych wszystkich
przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.
Dane
a=3
Odpowiedź:
\frac{k}{n}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
suma=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 5.3 (1 pkt)
Wyznacz zbiór tych wszystkich wartości parametru m\in\mathbb{R},
dla których suma dwóch różnych pierwiastków tego równania jest nie większa
od \frac{5}{2}.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj największy koniec
liczbowy tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 6.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30029
Podpunkt 6.1 (2 pkt)
«« Wyznacz te wartości parametru m, dla których
dwa różne pierwiastki x_1 i
x_2 równania
(2-a-m)x^2+(m+a-2)x+2=0 spełniają nierówność
\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} > 1.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy koniec
liczbowy tych przedziałów.
Dane
a=3
Odpowiedź:
min=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Podaj największy koniec liczbowy tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.3 (1 pkt)
Ile jest tych przedziałów?
Odpowiedź:
ile=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 7.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30050
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
» Dla jakich wartości parametru m kwadrat
sumy dwóch różnych pierwiastków równania
(m+a-4)x^2+(m+a)x-m-a=0 jest większy od
1?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmiejszy z końców
liczbowych tych przedziałów.
Dane
a=3
Odpowiedź:
min=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj największy koniec liczbowy tch przedziałów.
Odpowiedź:
max=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 7.3 (1 pkt)
Ile jest tych przedziałów?
Odpowiedź:
ile=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 8.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30049
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
» Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów
różnych pierwiastków równania
x^2+(m+a)x+m-1+a=0 jest większa od
7?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy
koniec liczbowy tych przedziałów.
Dane
a=4
Odpowiedź:
min=+\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj największy z koniec liczbowy tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=+\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Podaj największą wartość parametru m, dla której równanie to
nie ma dwóch różnych rozwiązań.
Odpowiedź:
max=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 9.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30354
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Zbiór M jest zbiorem tych wartości parametru
m, dla których równanie
x^2+kmx-k^2m^2+2km=0 nie posiada dwóch różnych
rozwiązań rzeczywistych.
Podaj największe m\in M.
Dane
k=14
Odpowiedź:
m_{max}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Wyznacz zbiór tych wszystkich wartości parametru m,
dla których rozwiązania x_1 i
x_2 podanego równania spełniają warunek
x_1^3+7x_1x_2+x_2^3 > 0.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z wszystkich końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedź:
min=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 9.3 (1 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 10.(6 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30827
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
(2 pkt)
Dla jakich wartości parametru m\in\mathbb{R}
równanie x^2-(m+6)x+m+5=0 spełnia
tylko jedna liczba rzeczywista?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z wszystkich
końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
min=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.2 (2 pkt)
(2 pkt)
Dla jakich wartości parametru m\in\mathbb{R}
dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 i x_2
tego równania spełniają
nierówność (x_1+3x_2)(x_2+3x_1)\geqslant 16?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z tych wszystkich końców tych
przedziałów, który jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
p=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.3 (2 pkt)
(2 pkt)
Podaj ten z tych wszystkich końców liczbowych tych przedziałów, który należy do zbioru
\mathbb{R}-\mathbb{Z} (różnica zbiorów).
Odpowiedź:
p=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 11.(5 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30357
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
«« Wyznacz te wartości parametru m, dla których
równanie 4x^2+(-4m+4a+2)x+m^2-(2a+1)m+a^2+a-2=0
ma dwa rozwiązania.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich
końców liczbowych tych przedziałów.
Dane
a=2
Odpowiedź:
suma=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Wyznacz zbiór tych wartości parametru m, dla których
równanie to ma dwa rozwiązania dodatnie.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich
końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
suma=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.3 (2 pkt)
Wyznacz zbiór tych wartości parametru m, dla których
równanie to ma dwa rozwiązania dodatnie spełniające nierówność
x_1^2+x_2^2\leqslant \frac{17}{4}.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich
końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
suma=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 12.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30066
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
«« Dana jest funkcja
f(x)=x^2+2(m-a)x+6m-5-6a
.
Dla jakich wartości parametru m funkcja ma dwa różne
miejsca zerowe o takich samych znakach?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę tych końców
przedziałów, które są liczbami całkowitymi.
Dane
a=3
Odpowiedź:
suma_Z=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.2 (2 pkt)
Dla jakich wartości parametru m te miejsca zerowe
spełniają warunek |x_2-x_1| \lessdot 3?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj największy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedź:
max=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 13.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30064
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
« Dla jakich wartości parametru m równanie
x^2+2(7-m+a)x+m^2-(13+2a)m+a^2+13a+42=0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1,x_2
spełniające warunek
x_1\cdot x_2\leqslant 6m-6a-18\leqslant x_1^2+x_2^2?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich
końców liczbowych tych przedziałów.
Dane
a=3
Odpowiedź:
suma=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 13.2 (2 pkt)
Podaj sumę kwadratów wszystkich końców całkowitych tych przedziałów.
Odpowiedź:
suma=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 14.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30061
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
« Dla jakich wartości parametru m\in\mathbb{R}
dwa różne pierwiastki równania x^2-2(m-a)x-m+a=0
należą do przedziału (-2,0).
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.
Dane
a=4
Odpowiedź:
m_L=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 14.2 (2 pkt)
Podaj prawy koniec tego przedziału.
Odpowiedź:
m_P=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 15.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30072
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
« Wyznacz te wartości parametru m\in\mathbb{R}, dla
których suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania
x^2+(m-2-a)x+2=0 jest większa od
2m^2+(16-4a)m+2a^2-16a+19.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Dane
a=3
Odpowiedź:
min=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 15.2 (2 pkt)
Podaj sumę całkowitych końców tych przedziałów.
Odpowiedź:
suma_Z=(wpisz liczbę całkowitą)
Liczba wyświetlonych zadań: 14
Liczba pozostałych zadań dostępnych dla zarejestrowanych nauczycieli: 13
