⇒ Matury CKE
⇒ Rankingi
⇒ Wyniki uczniów
♦ Testy i arkusze
♦ Działy
♦ Rozwiązalność
⇒ Strona główna
⇒ Zaloguj mnie
Okręgi i koła
Zadania dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
- położenie okręgów
- styczność okręgów
- styczna do okręgów
- okręgi rozłączne zewnętrznie
- okręgi rozłączne wewnętrznie
| Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11652 ⋅ Poprawnie: 68/112 [60%] | Rozwiąż |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
« Okręgi o_1(A, 8) oraz o_2(B,2m-3)
są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 10.
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
| m= | |
| Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11653 ⋅ Poprawnie: 13/31 [41%] | Rozwiąż |
Podpunkt 2.1 (0.5 pkt)
« Okręgi o_1(A, 2) oraz o_2(B,2m-1)
są styczne wewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 24.
Wyznacz najmniejszą wartość parametru m.
Odpowiedź:
| m_{min}= | |
Podpunkt 2.2 (0.5 pkt)
Wyznacz największą wartość parametru m.
Odpowiedź:
| m_{max}= | |
| Zadanie 3. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11654 ⋅ Poprawnie: 41/76 [53%] | Rozwiąż |
Podpunkt 3.1 (0.5 pkt)
Okręgi o_1(A, r_1) oraz o_2(B,r_2)
(r_1\lessdot r_2) są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa \frac{25}{6}.
Różnica długości promieni tych okręgów jest równa \frac{3}{2}.
Oblicz r_1.
Odpowiedź:
| r_1= | |
Podpunkt 3.2 (0.5 pkt)
Oblicz r_2.
Odpowiedź:
| r_2= | |
| Zadanie 4. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11737 ⋅ Poprawnie: 6/8 [75%] | Rozwiąż |
Podpunkt 4.1 (0.5 pkt)
Okręgi o_1(A, r_1) oraz o_2(B,r_2)
(r_1\lessdot r_2) są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa \frac{119}{6}.
Stosunek długości promieni tych okręgów jest równy 6.
Oblicz r_1.
Odpowiedź:
| r_1= | |
Podpunkt 4.2 (0.5 pkt)
Oblicz r_2.
Odpowiedź:
| r_2= | |
| Zadanie 5. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11655 ⋅ Poprawnie: 24/40 [60%] | Rozwiąż |
Podpunkt 5.1 (0.5 pkt)
Okręgi o_1(A, r_1) oraz o_2(B,r_2)
(r_1\lessdot r_2) są styczne wewnętrznie, a odległość ich środków jest równa \frac{3}{2}.
Suma długości promieni tych okręgów jest równa \frac{9}{2}.
Oblicz r_1.
Odpowiedź:
| r_1= | |
Podpunkt 5.2 (0.5 pkt)
Oblicz r_2.
Odpowiedź:
| r_2= | |
| Zadanie 6. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11738 ⋅ Poprawnie: 34/52 [65%] | Rozwiąż |
Podpunkt 6.1 (0.5 pkt)
Okręgi o_1(A, r_1) oraz o_2(B,r_2)
(r_1\lessdot r_2) są styczne wewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 7.
Stosunek długości promieni tych okręgów jest równy 4.
Oblicz r_1.
Odpowiedź:
| r_1= | |
Podpunkt 6.2 (0.5 pkt)
Oblicz r_2.
Odpowiedź:
| r_2= | |
| Zadanie 7. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10567 ⋅ Poprawnie: 274/451 [60%] | Rozwiąż |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Okręgi o_1(A, 3) i
o_2(B, 13) przecinają się w dwóch punktach:
Do odcinka AB należy środek okręgu o_3(C, r_3) stycznego wewnętrznie do obu okręgów o_1 i o_2.
Oblicz długość promienia r_3 wiedząc, że |AB|=14.
Odpowiedź:
r_3=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10563 ⋅ Poprawnie: 95/153 [62%] | Rozwiąż |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Okręgi o takich samych promieniach mają środki w punktach
M=(-1, -4) i
N=(23, -11) i są wzajemnie styczne zewnętrznie.
Wyznacz długość promienia tych okręgów.
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 9. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10569 ⋅ Poprawnie: 300/392 [76%] | Rozwiąż |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Dane są okręgi o_1\left(A, 3\right) i
o_2\left(B, \frac{15}{2}\right), przy czym
|AB|=\frac{17}{2}.
Okręgi te:
Odpowiedzi:
| A. są styczne wewnętrznie | B. są styczne zewnętrznie |
| C. są rozłączne zewnętrznie | D. mają dwa punkty wspólne |
| Zadanie 10. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11415 ⋅ Poprawnie: 169/226 [74%] | Rozwiąż |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Stosunek pól powierzchni dwóch kół jest równy 75.
Wynika z tego, że promień większego z tych kół jest większy od promienia mniejszego koła:
Odpowiedzi:
| A. 5\sqrt{3} razy | B. 45 razy |
| C. 5 razy | D. o 5\sqrt{3} |
| Zadanie 11. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11102 ⋅ Poprawnie: 26/118 [22%] | Rozwiąż |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
W okrąg o promieniu długości 8 wpisano kąt środkowy
oparty na łuku długości równej 25% długości całego
okręgu. Następnie w ten kąt środkowy wpisano okrąg.
Oblicz długość promienia tego okręgu.
Odpowiedź:
r=
+
\cdot
√
(wpisz trzy liczby całkowite)
(wpisz trzy liczby całkowite)
| Zadanie 12. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10476 ⋅ Poprawnie: 420/636 [66%] | Rozwiąż |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
« Dane są okręgi, w których |O_1A|=15,
|O_2B|=9 i
|O_1O_2|=48:
Oblicz długość odcinka O_1P.
Odpowiedź:
|O_1P|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 13. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10562 ⋅ Poprawnie: 331/469 [70%] | Rozwiąż |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Okręgi o_1(O_1, 1) i
o_2(O_2,9) są styczne zewnętrznie w punkcie
S, a prosta O_1P
jest styczną do okręgu o_2:
Oblicz pole powierzchni trójkąta O_1O_2P.
Odpowiedź:
| P_{\triangle O_1O_2P}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 14. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10566 ⋅ Poprawnie: 191/307 [62%] | Rozwiąż |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
« Okręgi o_1(O_1, 1) i
o_2(O_2, 9) są styczne zewnętrznie w punkcie
S, a prosta k
jest styczną do tych okręgów:
Oblicz długość odcinka AB.
Odpowiedź:
|AB|=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 15. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10565 ⋅ Poprawnie: 111/200 [55%] | Rozwiąż |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Dany jest okrąg o_1(S_1, 2023), przy czym
S_1=(-5,-12). Okrąg
o_2(S_2,2023) jest obrazem okręgu
o_1 w symetrii względem osi
Oy.
Wyznacz długość odcinka S_1S_2.
Odpowiedź:
|S_1S_2|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 16. 1 pkt ⋅ Numer: pp-10564 ⋅ Poprawnie: 130/188 [69%] | Rozwiąż |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Dwa okręgi mają promienie o długości \frac{2}{3} i
\frac{11}{6}. Mniejszy z okręgów przechodzi przez środek
większego.
Oblicz odległość między środkami tych okręgów.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11656 ⋅ Poprawnie: 10/10 [100%] | Rozwiąż |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Okręgi o_1(A, r_1) oraz o_2(B,r_2)
są styczne zewnętrznie do siebie i oba są stycznie wennętrznie do okręgu
o_3(C, r_3). Obwód trójkąta ABC
jest równy \frac{27}{2}.
Oblicz r_3.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11657 ⋅ Poprawnie: 2/5 [40%] | Rozwiąż |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Gdyby okręgi o_1(A, r_1) oraz o_2(B,r_2), przy czym
r_1\lessdot r_2, były styczne zewnętrznie do odcinek AB miałby długość
25, gdyby zaś były styczne wewnętrznie, to miałby
długość 3.
Oblicz długości promieni tych okręgów.
Odpowiedzi:
| r_1 | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| r_2 | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 19. 1 pkt ⋅ Numer: pp-11972 ⋅ Poprawnie: 29/41 [70%] | Rozwiąż |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości
\frac{21}{2}. Z wierzchołka A
zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).
Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe:
Odpowiedzi:
| A. \frac{441\sqrt{2}}{8}\pi | B. \frac{441}{8}\pi |
| C. \frac{441\sqrt{2}}{16}\pi | D. \frac{441}{16}\pi |
| E. \frac{441}{32}\pi | F. \frac{21\sqrt{2}}{8}\pi |
| Zadanie 20. 1 pkt ⋅ Numer: pp-12075 ⋅ Poprawnie: 13/21 [61%] | Rozwiąż |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Pole figury F_1 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół
o promieniach 5 i 9 jest równe
polu figury F_2 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o
promieniach długości r (zobacz rysunek).
Długość promienia r jest równa:
Odpowiedzi:
| A. 3\sqrt{53} | B. \frac{5\sqrt{53}}{2} |
| C. 2\sqrt{53} | D. \sqrt{53} |
| E. \frac{\sqrt{106}}{2} | F. \frac{3\sqrt{53}}{2} |
| Zadanie 21. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20219 ⋅ Poprawnie: 51/122 [41%] | Rozwiąż |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
» Dany jest kwadrat o boku a. W kwadrat ten
wpisano okrąg i na kwadracie tym opisano okrąg. Oblicz pole powierzchni
powstałego pierścienia kołowego.
Dane
a=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20231 ⋅ Poprawnie: 116/163 [71%] | Rozwiąż |
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P
i R, styczne zewnętrznie w punkcie
C.
Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio
w punktach A i B oraz
|\sphericalangle ABC|=\beta:
Oblicz miarę kąta \alpha. Wynik zapisz w stopniach bez jednostki.
Dane
\beta=62^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20224 ⋅ Poprawnie: 87/161 [54%] | Rozwiąż |
Podpunkt 23.1 (2 pkt)
Na trójkątach równobocznych ACD i
BEC, których podstawy zawierają się w jednej
prostej, opisano dwa okręgi jak na rysunku. Okręgi te przecięły się w punktach
C i P.
Oblicz miarę stopniową kąta APB.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20222 ⋅ Poprawnie: 45/225 [20%] | Rozwiąż |
Podpunkt 24.1 (2 pkt)
Okręgi są styczne do siebie i boków kwadratu. Stosunek ich promieni wynosi
k:1, a przekątna kwadratu ma długość
d.
Oblicz promień mniejszego z okręgów.
Dane
k=2
d=22
d=22
Odpowiedź:
| r= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 25. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20220 ⋅ Poprawnie: 68/110 [61%] | Rozwiąż |
Podpunkt 25.1 (2 pkt)
Czworokąt na rysunku jest kwadratem:
Oblicz |CO|:|AB|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 26. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20230 ⋅ Poprawnie: 32/52 [61%] | Rozwiąż |
Podpunkt 26.1 (2 pkt)
» Czworokąt na rysunku jest kwadratem:
Oblicz |AB|:|CO|.
Odpowiedź:
|AB|:|CO|=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 27. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20229 ⋅ Poprawnie: 135/246 [54%] | Rozwiąż |
Podpunkt 27.1 (2 pkt)
» Do dwóch stycznych zewnętrznie okręgów o promieniach
r_1 i r_2
i środkach odpowiednio O_1 i
O_2, poprowadzono styczną, która przecięłą
prostą przechodzącą przez środki tych okręgów w punkcie
A:
Oblicz długość odcinka O_1A.
Dane
r_1=40
r_2=15
r_2=15
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 28. 2 pkt ⋅ Numer: pp-20221 ⋅ Poprawnie: 21/43 [48%] | Rozwiąż |
Podpunkt 28.1 (2 pkt)
Na okręgu o środku O zaznaczono dwa punkty
A i B, które podzieliły
ten okrąg na dwa łuki, których długości pozostają w stosunku
a:b.
Oblicz miarę stopniową mniejszego z kątów środkowych AOB tego okręgu.
Dane
a:b=\frac{1}{8}=0.12500000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. 3 pkt ⋅ Numer: pp-21015 ⋅ Poprawnie: 1/5 [20%] | Rozwiąż |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Promienie dwóch okręgów sa odpowiednio równe: r_1=11-m i
r_2=m-3, a odległość między środkami tych okręgów jest równa
m-6. Wyznacz wszystkie wartości parametru m
spełniające warunki zadania. Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów.
Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| max | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
Podpunkt 29.2 (1 pkt)
Wyznacz te wartości parametru m, dla których okręgi te są
styczne wewnętrznie.
Podaj tę wartość m, która nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
| m= | |
Podpunkt 29.3 (1 pkt)
Dla ilu wartości całkowitych m okręgi te są rozłączne wewnętrznie?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. 3 pkt ⋅ Numer: pp-21016 ⋅ Poprawnie: 24/33 [72%] | Rozwiąż |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Promienie okręgów na rysunku są równe: r_1=3m-18 i
r_2=10-m, a odcinek O_1O_2 ma
długośc 8:
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 30.2 (1 pkt)
Podaj długości tych promieni.
Odpowiedzi:
| r_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| r_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
Podpunkt 30.3 (1 pkt)
Oblicz długość odcinka O_1A.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. 2 pkt ⋅ Numer: pp-21020 ⋅ Poprawnie: 4/4 [100%] | Rozwiąż |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Promienie dwóch okręgów sa odpowiednio równe: r_1=m-13 i
r_2=\frac{3}{2}m-18, a odległość między środkami tych okręgów jest równa
14. Wyznacz wartości parametru m, dla których
okręgi te mają jeden punkt wspólny.
Podaj najmniejsze i największe możliwe m.
Odpowiedzi:
| m_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| m_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
Podpunkt 31.2 (1 pkt)
Okręgi te mają dwa punkty wspólne, gdy m\in(a,b).
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 32. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30018 ⋅ Poprawnie: 37/93 [39%] | Rozwiąż |
Podpunkt 32.1 (4 pkt)
» Znając długość odcinka AB na rysunku
oblicz iloczyn promieni tych kół:
Dane
|AB|=7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 33. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30017 ⋅ Poprawnie: 20/89 [22%] | Rozwiąż |
Podpunkt 33.1 (4 pkt)
» W kwadrat o boku długości a\sqrt{2} wpisano
cztery okręgi jak na rysunku. Następnie narysowano koło zawarte w kwadracie i
styczne do tych czterech okręgów.
Oblicz promień tego koła.
Dane
a=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 34. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30016 ⋅ Poprawnie: 12/39 [30%] | Rozwiąż |
Podpunkt 34.1 (4 pkt)
« W kole o promieniu r narysowano cięciwę okręgu
tego koła oddaloną od środka koła o d.
Cięciwa podzieliła koło na dwie części.
Oblicz pole powierzchni mniejszej z tych cześci.
Dane
r=10
d=5
d=5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 35. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30014 ⋅ Poprawnie: 26/72 [36%] | Rozwiąż |
Podpunkt 35.1 (2 pkt)
« W kąt o wierzchołku A wpisano dwa styczne zewnętrznie
okręgi, których środki są odległe od wierzchołka kąta o
a cm i b cm. Oblicz
długości promieni tych okręgów.
Podaj długość mniejszego z promieni.
Dane
a=6
b=9
b=9
Odpowiedź:
| r_{min}= | |
Podpunkt 35.2 (2 pkt)
Podaj długość większego z promieni.
Odpowiedź:
| r_{max}= | |
| Zadanie 36. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30013 ⋅ Poprawnie: 14/46 [30%] | Rozwiąż |
Podpunkt 36.1 (4 pkt)
» Prosta k jest styczną do dwóch rozłącznych
zewnętrznie okręgów o promieniach r_1 i
r_2 i poprowadzona jest w taki
sposób, że środki okręgów znajdują sie po różnych stronach prostej
k.
Wiedząc, że odległość między środkami okręgów wynosi d oblicz odległość pomiędzy punktami styczności.
Dane
r_1=6
r_2=8
d=28
r_2=8
d=28
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 37. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30019 ⋅ Poprawnie: 14/42 [33%] | Rozwiąż |
Podpunkt 37.1 (4 pkt)
« Okręgi o_1 i o_2
o środkach odpowiednio A i
B i promieniach odpowiednio
r_1 i r_2 są styczne
wewnętrznie. Z punktu A poprowadzono półproste
styczne do okręgu o_2 w punktach
M i N.
Oblicz pole czworokąta AMBN.
Dane
r_1=14
r_2=2
r_2=2
Odpowiedź:
P_{AMBN}=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 38. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30012 ⋅ Poprawnie: 18/50 [36%] | Rozwiąż |
Podpunkt 38.1 (4 pkt)
«« Prosta k jest styczną do dwóch rozłącznych
zewnętrznie okręgów o promieniach r_1 cm i
r_2 cm i poprowadzona jest w taki
sposób, że środki okręgów znajdują sie po tej samej stronie prostej
k.
Wiedząc, że odległość między środkami okręgów wynosi d cm oblicz odległość pomiędzy punktami styczności.
Dane
r_1=4
r_2=11
d=25
r_2=11
d=25
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 39. 4 pkt ⋅ Numer: pp-30011 ⋅ Poprawnie: 10/34 [29%] | Rozwiąż |
Podpunkt 39.1 (2 pkt)
» Okręgi na rysunku są styczne do siebie i boków trójkąta równobocznego
o polu powierzchni P, a promień
r ma długość x\sqrt{y},
gdzie x,y\in\mathbb{N} i
y jest liczbą pierwszą:
Wyznacz x.
Dane
P=162+108\sqrt{3}=349.06148721743875
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 39.2 (2 pkt)
Wyznacz y.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)