Objętość wielościanów

 « Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach długości a, b i c. W graniastosłup ten wpisano kulę.

Oblicz objetość tego graniastosłupa.

 » W sześcianie ABCDA'B'C'D' punkt P jest środkiem przekątnej ściany bocznej BCC'B' i jego odległość od przekątnej sześcianu BD' jest równa d.

Oblicz objętość tego sześcianu.

 « W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych, wychodzące z tego samego wierzchołka, tworzą kąt o mierze \alpha i mają długość d.

Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

 W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych, wychodzące z tego samego wierzchołka, tworzą kąt o mierze \alpha i mają długość d.

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 « Pole powierzchni podstawy graniastosłupa czworokątnego ABCDA'B'C'D' jest równe P. Przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną (BDC') jest trójkątem równoramiennym, o kącie między ramionami BC' i DC' o mierze \alpha.

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 » Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym wszystkie krawędzie mają taką samą długość, przecięto płaszczyzną (ADE'F'), która w przekroju z graniastosłupem tworzy trapez ADE'F' o wysokości h.

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 «« Przekątne wychodzące z tego samego wierzchołka dwóch sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego przecinają się pod kątem \alpha, a krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość a.

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 «« W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta o bokach długości a, b i c umieszczono kulę, która dotyka każdej ściany tego graniastosłupa.

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 « Ostrosłup o podstawie ABC na rysunku jest prawidłowy, w którym płaszczyzny (ADE) i (BCS) są prostopadłe:

Oblicz wysokość ściany ściany bocznej tego ostrosłupa opuszczoną na bok AB.

 Oblicz wysokość tego ostrosłupa opuszczoną z wierzchołka S.

 Oblicz objętość tego ostrosłupa.

 « W ostrosłupie prawidłowym na rysunku odcinek d ma długość d=\frac{240}{17}, a kąt \alpha spełnia warunek \cos\alpha=\frac{161}{289}:

Oblicz długość krawędzi podstawy AB tego ostrosłupa.

 Oblicz objętość tego ostrosłupa.

 Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

 (2 pkt) Ostrosłup trójkątny ABCS o podstawie ABC i wysokości H, jest prawidłowy. Punkty E i F są środkami jego krawędzi podstawy, odpowiednio AB i AC, a kąt FSE jest prosty (zobacz rysunek).

Wyraź długość krawędzi bocznej ostrosłupa za pomocą krawędzi podstawy a. Podaj \frac{|AS|}{a}.

 (1 pkt) Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

 (1 pkt) Wyznacz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny EFS do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

 (1 pkt) Oblicz objętość ostrosłupa EBCFS.

 (1 pkt) Tworząca stożka ma długość l, a jego wysokość długość h. Wyznacz wzór funkcji f wyrażającej objętość tego stożka w zależności od jego wysokości h.

Podaj wartość wyrażenia \frac{f(1)}{\pi}.

 (1 pkt) Przedział (a,b) jest dziedziną tej funkcji.

Podaj liczbę b.

 (2 pkt) Oblicz \frac{f'(1)}{\pi}.

 (1 pkt) Wyznacz wysokość tego ze stożków, który ma największą możliwą objętość.

 (2 pkt) Ile jest równą ta największa objętość stożka?

 Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek).

Przyjmijmy, że |DO|=x. Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od zmiennej x. Funkcję y=V(x) zapisz w postaci y=\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest wielomianem zmiennej x.

Przyjmując d=12, podaj wartość tego wielomianu w jedynce.

 Oblicz pochodną funkcji V.

Przyjmując d=12, oblicz V'(1).

 Wyznacz długość odcinka x tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz wynik w postaci x=m\cdot d. Podaj liczbę m.

 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA_1B_1C_1D_1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R=2. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą rozwartemu kątowi środkowemu o mierze 2\alpha, którego sinus jest równy \sin2\alpha=\frac{120}{169} (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 4.

Oblicz \sin\sphericalangle BOC.

 Oblicz długość ramienia trapezu ABCD.

 Oblicz pole trapezu ABCD.

 Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB\parallel CD). Ramiona tego trapezu mają długość |AD|=10 i |BC|=8, a miara kąta ABC jest równa 30^{\circ}. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \alpha taki, że \tan\alpha=\frac{7}{2}.

Oblicz wysokość h trapezu ABCD.

 Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.

 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.

 Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma długości krawędzi podstawy i długości krawędzi bocznej jest równa 20. Wyraź objętość tego ostrosłupa za pomocą długości krawędzi podstawy x i zapisz ten wzór w postaci V(x)=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest pewnym wielomianem.

Podaj wartość tego wielomianu w x=1 i x=2.

 Oblicz pochodną wielomianu W(x).

Podaj wartość tej pochodnej w x=1.

 Wyznacz długośc krawędzi podstawy tego z ostrosłupów, który ma największą objętość.